DSITRIBUCION T DE STUDENT

DISTRIBUCION t DE STUDENT   En muchas ocasiones no se conoce la desviación estándar de la población  y el número de observaciones en la muestra es menor de 30. En estos casos, se puede utilizar la desviación estándar de la muestra S como una estimación de , pero no es posible usar la distribución Z como estadístico de prueba. El estadístico de prueba adecuado en estos casos es la distribución t. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada).

Características de la distribución t de Student  Es una distribución continua, tiene forma acampanada  Tiene una media de cero, es simétrica respecto de la media y se extiende de -  a + , sus colas se aproximan asintóticamente al eje X. Es similar a la distribución Z salvo que es platicúrtica y, por tanto, más aplanada. Cuando los grados de libertad son suficientemente grandes la varianza de la distribución t tiende a 1. Es una "familia" de distribuciones t. todas con la misma media cero, pero con su respectiva desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra. Es más ancha y más plana en el centro que la distribución normal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar. La desviación estándar depende de un parámetro denominado “grados de libertad”.

Comparación entre la variable T y la normal tipificado.   Comparación entre la variable T y la normal tipificado.

La función de densidad de la distribución t es:   El parámetro de la distribución t es v, su número de grados de libertad.

con n = n-1 grados de libertad Formalmente una variable T con distribución t de Student o simplemente distribución t se define de la forma siguiente: con n = n-1 grados de libertad

Grados de Libertad  Existe una distribución t distinta para cada uno de los posibles grados de libertad. ¿Qué son los grados de libertad? Podemos definirlos como el número de valores que podemos elegir libremente. Si se están tratando con dos valores de muestra, a y b, y sabemos que tienen una media de 18. Simbólicamente la situación es:   = 18 ¿Cómo podemos encontrar los valores que a y b pueden tomar en esta situación? La respuesta es que a y b pueden ser cualesquier valor cuya suma entre los dos sea 36, ya que 36 entre 2 es 18. Suponga que sabemos que a tiene el valor de 10. Ahora b ya no es libre de tomar cualquier valor, sino que debe de tomar el valor de 26 ya que: Si a = 10 Entonces De modo que 10 + b = 36 Por tanto b = 26   La situación de este ejemplo se puede generalizar para cualquier (n) en donde dada la media de los valores sólo quedan (n -1) elementos que pueden definirse libremente y uno es función de la media y el resto de los elementos.

DISTRIBUCION DE MUESTREO DE LA MEDIA MUESTRAS PEQUEÑAS

En muchos escenarios experimentales no se conoce el valor de la desviación estándar de la Población, en ese caso se utiliza Cuando el tamaño de la muestra es pequeño los valores de la varianza muestral fluctúan de manera considerable de una muestra a otra y la distribucion t se desvían de forma apreciable de la distribución normal estándar Grados de libertad Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande La distribucion t no difiere de la distribucion normal estándar

Distribución t de Student(uso tablas) Encontrar la P(t >0.82 ; gl=2)=0.25 Encontrar t* tal que P(t >t* ; gl=8)=0.05 t*=1.86