Sistema en Diferencias Finitas José Alberto Contreras Fernández Antonio Murillo Melero

Índice Introducción Análisis del sistema propuesto Estudio de la ecuación diferencial asociada al sistema propuesto Aplicaciones Conclusiones Bibliografía

Introducción Comenzaremos con un pequeño resumen de las bases teóricas que se van a utilizar a lo largo del trabajo y luego se expondrá un estudio del comportamiento del sistema parametrizado en los puntos críticos elegidos. Para finalizar, se hallará un posible sistema de ecuaciones diferenciales asociado.

Introducción Ecuación en diferencias finitas Un sistema en diferencias finitas se define iterando una transformación f de modo que Xn+1 = f (Xn) en el caso de una única dimensión

Introducción Relación con ecuaciones diferenciales

Introducción Clasificación de los SDF Endomorfismos Diferentes valores de Xn se transforman en los mismos valores de Xn+1 al aplicar la función f. No son invertibles. En una dimensión: La ecuación de Malthus: f(x) = c x Logístico: f(x) = c x (1-x) En dos dimensiones: Exacto: f(x,y) = (3x + y, x + 3y)

Introducción Clasificación de los SDF Automorfismos Cada valor de Xn se transforma en un valor diferente de Xn+1 al aplicar f. Si son invertibles. En una dimensión: Circular: f (x) = f (x+1) - 1 En dos dimensiones: La aplicación de Arnold: f(x,y) = (x + y, x + 2y) Sistemas cuadráticos: f(x,y) = (y + 1 - a x2, b x)

Introducción Propiedades de los SDF Volumen El mapa es diferenciable. El valor absoluto de su determinante Jacobiano es la unidad en todo el mapa, es decir, Siendo φ representa un mapa

Introducción Propiedades de los SDF Symplectic un mapa symplectic es un mapa que preserva la suma de las áreas proyectadas sobre el conjunto de los (pi,qj) planos. Es la generalización de un mapa que preserva el área. Donde T es la traspuesta y Σ es una matriz antisimétrica constante ΣT = - Σ

Introducción Propiedades de los SDF Simétricos Un mapa es simétrico respecto de una transformación g si Invertibles Un mapa es invertible respecto de una transformación θ si

Análisis del sistema propuesto

Análisis del sistema propuesto

Análisis del sistema propuesto Soluciones de λ Raíces reales conjugadas. Raíces reales dobles. Raíces complejas

Análisis del sistema propuesto Distinta fenomenología

Análisis del sistema propuesto Raíces reales conjugadas a = 0, b = 1y α = 0.1

Análisis del sistema propuesto Raíces reales conjugadas a = 0, b = 1y α = 0.01

Análisis del sistema propuesto Raíces reales conjugadas a = 0, b = 1y α = -0.1

Análisis del sistema propuesto Raíces reales conjugadas a = 0, b = 1y α = -0.01

Análisis del sistema propuesto Estudio del volumen raíces reales conjugadas El sistema no preserva el volumen

Análisis del sistema propuesto Raíces reales dobles a = 2, b = 1y α = 0.1

Análisis del sistema propuesto Raíces reales dobles a = 2, b = 1y α = 0.01

Análisis del sistema propuesto Raíces reales dobles a = 2, b = 1y α = -0.1

Análisis del sistema propuesto Raíces reales dobles a = 2, b = 1y α = -0.01

Análisis del sistema propuesto Estudio del volumen raíces reales dobles El sistema no preserva el volumen

Análisis del sistema propuesto Raíces complejas a = 2, b = 0.5 y α = 0.1

Análisis del sistema propuesto Raíces complejas a = 2, b = 0.5 y α = 0.01

Análisis del sistema propuesto Raíces complejas a = 2, b = 0.5 y α = -0.1

Análisis del sistema propuesto Raíces complejas a = 2, b = 0.5 y α = -0.01

Análisis del sistema propuesto Estudio del volumen raíces complejas El sistema no preserva el volumen

Ecuación diferencial asociada Introducción a Euler Presuponemos una discretización por Euler.

Ecuación diferencial asociada

Ecuación diferencial asociada Suponemos que se ha utilizado para discretizar un Δt = h = 10 -3

Ecuación diferencial asociada Si realizamos el mismo proceso con la segunda ecuación:

Ecuación diferencial asociada El sistema resultante sería:

Puntos fijos del sistema de ecuaciones diferenciales Valoración de la discretización aplicada:

Puntos fijos del sistema de ecuaciones diferenciales Podemos afirmar que el sistema discreto conserva las propiedades cualitativas y cuantitativas de los puntos fijos.

Aplicaciones ¿Para qué discretizar un sistema contínuo? Simulación del comportamiento de un sistema o ecuación que no se puede resolver analíticamente. Física experimental. Química. Cristalografía. Ingeniería. Matemáticas. Estadística. Geología. Sedimentación. Tratamiento de imágenes digitales. Predicción atmosférica.

Aplicaciones Tratamiento de imágenes. Discretización del gradiente.

Aplicaciones Tratamiento de imágenes. Discretización del vector gradiente.

Aplicaciones Extracción de bordes:

Aplicaciones Discretización de ecuaciones en derivadas parciales no-lineales. Filtrado de imágenes digitales:

Aplicaciones Predicción Atmosférica. Durante los últimos años, debido fundamentalmente a la intervención humana en el clima, hay un creciente interés en la predicción del cambio climático bien atmosférico u oceánico. Este interés lleva al análisis de grandes conjuntos de datos para su posterior tratamiento en un modelo teórico e interpretación de los resultados obtenidos.

Aplicaciones Los modelos numéricos de la atmósfera se clasifican en: Globales Regionales Locales Según el dominio que abarcan. Dichos modelos se basan en la integración numérica de las ecuaciones que representan las leyes de conservación de masa, momento, calor y humedad. La integración numérica está basada en una discretización espacial del dominio en una grilla, en cuyo caso se resuelve la formulación equivalente en diferencias finitas.

Aplicaciones Un problema importante en la modelación atmosférica es la necesidad de representar procesos dentro de escalas espaciales más pequeñas que aquellas explícitamente resueltas por las ecuaciones discretizadas. La representación de las escalas no resueltas en la modelación atmosférica se conoce como parametrización.

Conclusiones El método de diferencias finitas es una herramienta muy útil para el estudio y simulación de sistemas continuos Las aplicaciones abarcan diversos campos de estudio actuales

Bibliografía [1] A.Giraldo y M.A.Sastre. Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. Teoría, Ejemplos y Algoritmos, Fundación General de la Universidad Politécnica de Madrid (2002). [2] C.Fernández Pérez, F.J. Vázquez Hernández, J.M. Vegas Monaster. Ecuaciones diferenciales y en diferencias finitas. Sistemas dinámicos, Thomson (2003). [3] Encyclopedia of Nonlinear Science, Alwyn Scott (2005). [4] J.A. Infante y J. Mª. Rey; Métodos Numéricos. Teoría, problemas y prácticas con MATLAB; Ediciones Pirámide (1999).