Trigonometría Moderna ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Y SUS RAZONES TRIGONOMETRICAS Por el Licenciado: Ramfis Omar Centeno Ramírez algrocr@hotmail.com

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Ángulo en el 2do Cuadrante Es aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en cualquier lugar del plano cartesiano. Lado final del ángulo en posición normal Y Medida del ángulo en posición normal Ángulo en el 2do Cuadrante x o Lado inicial del ángulo en posición normal Origen de Coordenadas

Ángulo ubicado en el 3er cuadrante Ángulo ubicado en el 4to cuadrante Y Ángulo ubicado en el 3er cuadrante Medida del ángulo en posición normal X Lado inicial Y Lado Final Lado inicial X Ángulo ubicado en el 4to cuadrante Lado Final

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Sea “ ” un ángulo trigonométrico en posición normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0) el radio vector de dicho punto, entonces la Razones Trigonométricas de” “ , se definen como sigue: Y r y X x

x y Calcula todas las R.T. de Del gráfico: y Como: Entonces: x Luego:

r r 2) Calcula: en: Resolución.- -2 -1 r θ Resolución.- Lo primero será calcular el valor del radio vector r Entonces: Luego:

En el gráfico: Calcula: Resolución.- ( -4 ; -5) θ ( 4 ; 5) ( -4 ; -5) Calcula: Resolución.- Trasladamos el punto (4;5) por simetría, asiendo rotaciones de 90°. Luego: = = =

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Como las razones trignométricas dependen de dos cantidades (abscisas, ordenadas y/o radio vector), nos percatamos que las razones trigonométricas tienen un signo que se obtiene de la combinación de los signos que poseen estas cantidades. + ; + ( x ; y) Senθ = y : r = + : + = + Cosθ = x : r = + : + = + Tanθ = x : r = + : + = + θ Ctgθ = x : r = + : + = + Secθ = x : r = + : + = + Cscθ = x : r = + : + = +

Senθ = y : r = - : + = - Cosθ = x : r = - : + = - - ; + Senθ = y : r = - : + = - ( x ; y) Cosθ = x : r = - : + = - θ Tanθ = x : r = - : - = + Ctgθ = x : r = - : - = + Secθ = x : r = + : - = - Cscθ = x : r = + : - = - Senθ = y : r = + : + = + Cosθ = x : r = - : + = - θ Tanθ = x : r = + : - = - Ctgθ = x : r = - : + = - Secθ = x : r = + : - = - ( x ; y) - ; - Cscθ = x : r = + : + = +

TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE LAS R.T. POR CUADRANTES θ TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE LAS R.T. POR CUADRANTES ( x ; y ) + ; - 1er CUADRANTE 2do CUADRANTE Senθ = y : r = - : + = - El SENO y el CO-SECANTE son Positivas, las demás Negativas. Todas las Razones Trigonométricas son Positivas Cosθ = x : r = + : + = + Tanθ = x : r = - : + = - Ctgθ = x : r = + : - = - 3er CUADRANTE 4to CUADRANTE Secθ = x : r = + : + = - La TANGENTE y La COTANGENTE son Positivas, las demás Negativas. El COSENO y La SECANTE son Positivas, las demás Negativas. Cscθ = x : r = + : - = +

ALGUNAS APLICACIONES http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/trigo3.html http://www.sig.upv.es/asignaturas/gc/Vision3d.pdf http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080604174349AAhWLfs