Posición Relativa de dos rectas Transversales Paralelas Coincidentes

Sistema de Ecuaciones Dadas dos rectas, cada una de ellas está representada por una ecuación lineal. Los puntos de intersección deben verificar ambas ecuaciones A1x + B1y = C1 A2x + B2y = C2

Sistema de Ecuaciones Decir que las rectas son transversales es lo mismo que decir que el sistema de ecuaciones tiene una única solución. Decir que son paralelas equivale a decir que el sistema no tiene solución. Decir que son coincidentes es lo mismo que decir que las dos ecuaciones son equivalentes.

Ejemplo 1 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 2x – y = -1 El sistema admite una única solución Por lo tanto, las rectas son transversales y se cortan en

Ejemplo 1

Ejemplo 2 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 2x – y = – 3 Multiplicando la primer ecuación por -3 obtenemos un sistema equivalente 6x – 3y = – 9 6x – 3y = – 6 Restando ambas ecuaciones obtenemos 0= – 15 lo cual no puede ser. El sistema NO tiene solución.

Ejemplo 2

Ejemplo 3 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 4x – 8y = -12 Multiplicando la segunda ecuación por -4 obtenemos la primera. Es decir, ambas ecuaciones en realidad son la misma ecuación. Las rectas coinciden.

Otra forma: comparar los vectores-dirección También podemos ver la posición relativa de dos rectas comparando sus vectores-dirección.

Ejemplo 1 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 2x – y = -1 Sus vectores normales son n1= (2, -1) y n2= (1, -1) respectivamente. Por lo tanto, sus vectores directores son u1= (1, 2) y u2= (1, 1), que obviamente no son paralelos porque sus coordenadas no son proporcionales. Entonces las rectas se cortan.

Ejemplo 2 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 2x – y = – 3 Sus vectores normales son n1= (2, -1) y n2= (-6, 3) respectivamente. Por lo tanto, sus vectores directores son u1= (1, 2) y u2= (3, 6), que son paralelos porque sus coordenadas son proporcionales. Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

Ejemplo 2 Para saber en qué caso estamos podemos hacerlo de dos formas: Tomar un punto de una recta y probar si pertenece a la otra. En caso afirmativo son coincidentes y en caso negativo son paralelas. Observar si las dos ecuaciones, además de sus coeficientes proporcionales, tienen también sus términos independientes proporcionales. En ese caso son coincidentes, en caso contrario paralelas. L1 : 2x – y = – 3 L2 : – 6x + 3y = – 6 L1 y L2 son paralelas porque

Ejemplo 3 Sean las rectas de ecuaciones L1 : 4x – 8y = -12 Sus vectores normales son n1= (4, -8) y n2= (-1, 2) respectivamente. Por lo tanto, sus vectores directores son u1= (8, 4) y u2= (2, 1), que son paralelos porque sus coordenadas son proporcionales. Entonces las rectas son paralelas o coincidentes.

Ejemplo 3 En este caso L1 y L2 son coincidentes porque