C 1 CINEMÁTICA Movimiento Mecánico. Bases para su estudio. Métodos vectorial, de coordenadas y natural. Magnitudes cinemáticas. Movimiento unidimensional. Movimiento rectilíneo uniformemente variado. Movimiento rectilíneo uniforme. Caída libre Ejemplos Bibliog. Sears, Física Universitaria

Mecánica de los cuerpos macroscópicos Movimiento mecánico

Cinemática: Rama de la Mecánica que se dedica a la descripción del movimiento mecánico sin interesarse por las causas que lo provocan. Dinámica: Rama de la Mecánica que se dedica a investigar las causas que provocan el movimiento mecánico.

Definir sistema bajo estudio Definir Sistema de Referencia (SR) Movimiento Mecánico: Cambio de posición de un cuerpo respecto a otros, tomados como referencia. Definir sistema bajo estudio Definir Sistema de Referencia (SR) Carácter: Relativo

Bases para el estudio del movimiento mecánico Definición del Sistema de Referencia (SR) Utilización de magnitudes físicas apropiadas y relaciones entre ellas. Empleo de modelos para el sistema físico: Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula. Utilización del principio de independencia de los movimientos de Galileo así como del principio de superposición.

Bases para el estudio del movimiento mecánico SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio. Se le asocia Sistema de Coordenadas y x z x(t) y(t) z(t) Observador Reloj

Bases para el estudio del movimiento mecánico SRI: Es aquel para el cual el sistema bajo estudio en ausencia de la acción de otros cuerpos, se mueve con MRU.

Bases para el estudio del movimiento mecánico Magnitudes Físicas Cinemáticas Posición, Velocidad, Aceleración Dinámicas Fuerza, Torque

Bases para el estudio del movimiento mecánico Modelos de Cuerpo Rígido: Las distancias entre los diferentes puntos del cuerpo no varían. de Partícula: el cuerpo puede ser considerado como un objeto puntual.

Traslación pura

Rotación pura de cuerpo sólido Es aplicable el modelo del cuerpo rígido pero no el de partícula

Describir el Movimiento mecánico Objetivo Cinemática Objetivo Determinación de las Leyes del Movimiento Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)

Métodos Problemas de la cinemática Vectorial (conciso, elegante) de Coordenadas Mayor número de ecuaciones Natural Coordenadas curvilíneas Problemas de la cinemática Posición (t) Cond. Iniciales P. Inverso Velocidad (t) Aceleración (t) P. Directo

Vectorial

De Coord.

Natural

Metodología Identificar sistema físico Selección del SRI (Ubicación del Observador) Selección del método o métodos (vectorial, de coordenadas o natural) Resolver el problema directo (derivando) o el indirecto (integrando) o ambos: Hallar analíticamente la dependencia temporal de la posición, la velocidad y la aceleración; y Dibujar las gráficas

Vector desplazamiento. Vector velocidad media. Rapidez media

A r(t1) B r(t2) t1 t2 r(t1) Vector posición en el instante t1 y x

Vector desplazamiento El vector desplazamiento en el intervalo de tiempo [t1 , t2] esta dado por: ¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?

A t1 B t2 No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo

Vector velocidad media Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como:

y t1 A t2 B La velocidad media apunta en la misma dirección del vector desplazamiento x

Y(m) t2 t1 Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2] x(m)

Rapidez media La rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado La rapidez media no es un vector la rapidez media no es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo)

Velocidad instantanea. Rapidez instantánea

Y(m) t"2 r2"  r" t'2 r2'  r' t1 A r1  r r2 t2 B x(m)

t2 Y(m) t3 t1 A El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria que describe la partícula x(m)

Velocidad instantánea La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo

Esta expresión podemos expresarla en función de sus componente rectangulares

Rapidez instantánea t1 t2 Si

Rapidez instantánea La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea Al modulo de la velocidad instantánea se le conoce como rapidez instantánea

Vector aceleracion media

Y(m) t2 t1 A x(m)

Aceleración media Se define la aceleración media como la rapidez de cambio de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo

aceleracion instantanea

Y(m) x(m) t t1 La aceleración en este pequeño intervalo de tiempo apunta hacia la concavidad de la trayectoria

La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t

Es la aceleración normal , responsable del cambio de dirección de la velocidad Es la aceleración tangencial responsable del cambio del modulo de la velocidad

Movimiento rectilíneo Movimiento circular uniforme

Expresado en componentes rectangulares

Resumen: Problema directo Si se conoce la posición de la partícula con el tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y aceleración instantánea por simple derivación

Son los vectores posición y velocidad en el instante to Problema inverso Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo es posible encontrar la posición y la velocidad usando el camino inverso, es decir integrando: Son los vectores posición y velocidad en el instante to

Si el vector posición de una partícula esta dada por: Ejemplo 1: Si el vector posición de una partícula esta dada por: Hallar: 1) el vector posición para t= 0 y 2 s 2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s 3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s 5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s 6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s

Movimiento en una dimensión

Podemos aplicar lo discutido anteriormente al caso de una partícula moviendose en una sola dimensión, por ejemplo a lo largo del eje x

x Para el movimiento en el eje X las ecuaciones se reducen a:

v y a igual signo v y a signos opuestos Movimiento rectilíneo variado Movimiento rectilíneo acelerado v y a igual signo Movimiento rectilíneo retardado v y a signos opuestos

discusion de graficas x(t) y v(t) versus el tiempo t para el movimiento unidimensional

Velocidad instantánea Línea tangente x Q’ Q’’ Q P Xi ti t O

X(t) Velocidad instantánea Q p R t

Aceleración instantánea ti tf a = 0 a > 0 a < 0

En toda gráfica v versus t el área bajo la curva es igual al desplazamiento del móvil ti tf

Ejemplo 1: En la gráfica velocidad versus tiempo, haga un análisis del tipo de movimiento e indique en que tramos el movimiento es acelerado o desacelerado

V(t) 2 4 8 12 16 t(s)

Movimiento rectilineo uniformemente acelerado

Diremos que un movimiento rectilíneo es uniforme variado si la aceleración del móvil permanece constante en todo momento. Supongamos que una partícula parte de la posición xo en el instante t0=0 , con una velocidad vo

t=0 x Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de integrar Problema inverso t=0 x Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de integrar Velocidad instantánea

Podemos ahora determinar la posición de la partícula en cualquier instante de tiempo t

x t=0 Hallaremos ahora una expresión para determinar la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, t]:

x t=0 Y usando las ecuaciones anteriormente deducidas

x t=0 Finalmente obtenemos

t=0 x También se puede demostrar: Donde : Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo [0 , t]

Despejando t en la 1ra y sustituyendo en la 2da, se obtiene la 3ra Resumen Despejando t en la 1ra y sustituyendo en la 2da, se obtiene la 3ra [0 , t] [t1 , t2 ]

Movimiento Uniformemente Acelerado Pendiente = 0 u u0 O t Pendiente = a xo x(t) t Pendiente = v0 pendiente = v(t)

Movimiento Parabólico Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU a V t V0 t x x0 t Movimiento Parabólico MRU Eje x MRUV Eje y

caida libre

Haga click en la bolita verde tiempo de subida tiempo de bajada v0 -v0 Haga click en la bolita verde

caida libre

v v0 a tv tv/2 t t -g -v0 x H tv t caida libre

Problema 7 Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente hacia arriba con una rapidez de 100 m/s, determine: a) El tiempo que permanece en el aire. b) Su posición en el instante t = 5 s. c) La altura máxima alcanzada. d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad de 60 m/s a -60m/s