Regresión Lineal y Regresión Polinomial Marco A. Rodríguez González Walter Chavarría Díaz Aldo Sebianne Castro Luis Sánchez Marvin Pérez

Regresión Lineal El ejemplo mas simple de aproximación por mínimos cuadrados es ajustar una línea recta a un conjunto de observaciones definidas por puntos: La expresión matemática para la línea recta es: ao y a1 son coeficientes que representan la intersección con el eje “y” y la pendiente, respectivamente. e= es el error, o diferencia, entre el modelo y las observaciones, el cualk se representa al reordenar la ecuación(17.1) como

Datos con un error significativo Ajuste polinomial oscilando mas allá del rango de los datos Resultados mas satisfactorios mediante el ajuste por mínimos cuadrados

Ajuste de una línea recta por mínimos cuadrados Para determinar los valores de ao y a1 , se deriva con respecto a cada uno de los coeficientes: Al igualar las derivadas a cero dará como resultado un Sr mínimo Ahora y expresamos las ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones lineales simultaneas ( con 2 incógnitas):

Ejemplo: Ajuste a una línea recta los valores “x” y “y” en las primeras columnas de la tabla Tabla. Cálculos para el análisis de error en el ajuste lineal.

Cuantificación del error en la regresión lineal Suma de Cuadrados: Esto se puede interpretar por medio del principio de la máxima probabilidad y se determina como sigue: St es la magnitud del error residual asociado con la variable dependiente antes de la regresión. Sr : Suma de los cuadrados. Suma Inexplicable de los cuadrados: St- Sr Con esto obtenemos:

Solución. Las sumatorias se realizan y se presentan en la tabla Planteamiento del problema. Calcule la desviación estándar total, el error estándar del estimado el coeficiente de correlación para los datos del ejemplo anterior. Solución. Las sumatorias se realizan y se presentan en la tabla Y el error estándar del estimado es Como , el modelo de regresion lineal es adecuado. La mejora se puede cuantificar mediante ó Los resultados indican que el modelo lineal explico el 86.8% de la incertidumbre original.

Linealización de Relaciones No Lineales En la regresión lineal no siempre se da el caso de que la relación entre las variables dependientes e independientes es lineal. Este es un dato que se debe averiguar siempre antes de realizar cualquier análisis de regresión. Por ejemplo, si los datos son curvilíneos, no se debe utilizar el método de regresión lineal por mínimos cuadrados . Existen ocasiones en que los datos no son compatibles con la regresión lineal, por lo tanto, se debe recurrir a una transformación. Estas transformaciones matemáticas son capaces de manipular las ecuaciones para que resulten de una manera lineal, y después de esto aplicar el método de regresión lineal simple para ajustar las ecuaciones a los datos . Ejemplo: Ecuación de Potencias Como se trata de una ecuación de potencias se puede aplicar logaritmo a ambos lados de la ecuación. Tomando valores de a=0,5 y de b=1,75 se obtiene la siguiente ecuación.

En la siguiente Tabla se observan los datos a graficar de la ecuación de potencias sin logaritmo y con logaritmo. x y logx logy 1 0,5 -0,301 2 1,7 0,301 0,226 3 3,4 0,477 0,534 4 5,7 0,602 0,753 5 8,4 0,699 0,922 Grafico de Y vrs X

Gráfica de log(y) vrs log(x)

Regresión Polinomial Consiste en otra alternativa, para ajustar polinomios a los datos. Necesitamos ajustar a un polinomio de segundo grado ó cuadrático: La suma de los cuadrados de los residuos es: Derivamos Sr con respecto a a0:

Por último con respecto a a2: Luego con respecto a a1: Por último con respecto a a2: Igualamos a 0, y reordenamos: hasta Tenemos un sistemas de ecuaciones, con 3 incógnitas (a0,a1,a2), entonces se puede extender un polinomio de m-ésimo grado como sigue:

El error estándar se calcula de la siguiente manera: A continuación, se propone un ejercicio para facilitar la compresión de la regresión polinomial. Ejercicio Ajustar a un polinomio de segundo grado los datos dados en las dos primeras columnas de la siguiente tabla. En donde:

Entonces, las ecuaciones lineales simultáneas son: Resolviendo el sistema por eliminación de Gauss tenemos: Y por lo tanto tenemos la ecuación de la forma:

r : Coeficiente de correlación El error estándar es: El coeficiente de determinación es: : Coeficiente de determinación r : Coeficiente de correlación En un ajuste perfecto St=0 y r2=r=1,significa que la línea explica el 100% de la variabilidad de los datos r2=r=0, Sr= St el ajuste no representa alguna mejora. Una representación alternativa para r que es mas conveniente para implementarse en una computadora es