PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS ANGULOS TEORIA PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS ABRAHAM GARCIA ROCA agarciar@correo.ulima.edu.pe

Medida del Angulo convexo ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina vértice. ELEMENTOS DE UN ANGULO: O A B LADO VÉRTICE   Medida del Angulo convexo Medida del Angulo cóncavo

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA a) ÁNGULO CONVEXO 0º <  < 180º  a.1) ÁNGULO AGUDO  0º <  < 90º

a.2) ÁNGULO RECTO  = 90º  a.3) ÁNGULO OBTUSO 90º <  < 180º 

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS    = 90º   b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS  +  = 180º  

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS a) ÁNGULOS ADYACENTES      Un lado común Puede formar más ángulos ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE  Son congruentes

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8 01. Ángulos alternos internos: m 3 = m 5; m 4 = m 6 04. Ángulos conjugados externos: m 1+m 8=m 2+m 7=180° 02. Ángulos alternos externos: m 1 = m 7; m 2 = m 8 05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7 03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS 01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.    x y  +  +  = x + y

02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS       +  +  +  +  = 180°

03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES    +  = 180°

PROBLEMAS RESUELTOS

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X X = 90° Problema Nº 01 El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”. RESOLUCIÓN La estructura según el enunciado: 90 - { ( ) - ( ) } = ( ) 180° - X 90° - X 2 90° - X Desarrollando se obtiene: 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X Luego se reduce a: X = 90° 2X = 180°

Problema Nº 02 La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos:  y   +  = 80°  = 80° -  Dato: ( 1 ) Dato: ( 90° -  ) = 2 ( 2 )  = 70° Resolviendo Reemplazando (1) en (2):  = 10° Diferencia de las medidas ( 90° -  ) = 2 ( 80° -  )  -  = 70°-10° = 60° 90° -  = 160° -2

Problema Nº 03 La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos. RESOLUCIÓN Sean los ángulos:  y  Del enunciado:  +  = 50° (+) ( 90° -  ) + ( 90° -  ) = 130°  -  = 10°  +  = 50° ( 1 ) 2 = 60° Del enunciado: - ( 180° -  ) ( 180° -  ) = 10°  = 30°  -  = 10° ( 2 )  = 20° Resolviendo: (1) y (2)

Problema Nº 04 Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB. RESOLUCIÓN De la figura: A B O C  = 60° - 20° M  = 40° 20° X Luego:  60° X = 40° - 20° X = 20°

Problema Nº 05 La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB. Del enunciado: RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado AOB - OBC = 30° A O B C Luego se reemplaza por lo que Se observa en la gráfica M (  + X) - ( - X) = 30º 2X=30º  X  (- X) X = 15°

Problema Nº 06 Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la mAOC = mBOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD. RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado De la figura: A C M N B D 2 +  = 90° ( + )  + 2 = 90° X 2 + 2 + 2 = 180°    +  +  = 90°  X =  +  +  X = 90°

Problema Nº 07 Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X” 80° 30°   X m n

Propiedad del cuadrilátero RESOLUCIÓN 80° 30°   X m n Por la propiedad 80° =  +  + X (2) 2 + 2 = 80° + 30° Reemplazando (1) en (2)  +  = 55° (1) 80° = 55° + X Propiedad del cuadrilátero cóncavo X = 25°

Problema Nº 08 Si m // n . Calcular la medida del ángulo “X” 5 4 65° X m n

RESOLUCIÓN 5 4 65° X m n 40° 65° Por la propiedad: Ángulo exterior del triángulo 4 + 5 = 90° X = 40° + 65°  = 10° X = 105°

Problema Nº 01 Si m // n . Calcule la medida del ángulo ”X”  2 x m n  2

X = 60° 3 + 3 = 180°  +  = 60° X =  +  RESOLUCIÓN x x m  2 2 Ángulos conjugados internos Ángulos entre líneas poligonales 3 + 3 = 180°  +  = 60° X = 60° X =  + 

PROBLEMAS PROPUESTOS DE ANGULOS ENTRE PARALELAS

PROBLEMA 01.- Si L1 // L2 . Calcule la m  x   4x 3x L1 L2 A) 10° B) 20° C) 30° D) 40° E) 50°

PROBLEMA 02.- Si m // n . Calcule la m  x 30° X A) 18° B) 20° C) 30° D) 36° E) 48°

PROBLEMA 03.- Si m // n . Calcule la m   3  m n A) 15° B) 22° C) 27° D) 38° E) 45°

PROBLEMA 04.- Si m // n . Calcule el valor de “x” 40° 95°  2x m n A) 10° B) 15° C) 20° D) 25° E) 30°

x PROBLEMA 05.- Calcule la m  x 3 6 A) 99° B) 100° C) 105° D) 110° E) 120°

 4 4  PROBLEMA 06.- Si m // n . Calcule la m  x m n X A) 22° B) 28° C) 30° D) 36° E) 60°

 x  PROBLEMA 07.- Si. Calcule la m  x m 88° 24° n A) 24° B) 25° C) 32° D) 35° E) 45°

PROBLEMA 08.- Si m // n . Calcule la m  x 20° 30° X m n A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) 30°

PROBLEMA 09.-Si m//n y -  = 80°. Calcule la mx A) 60° B) 65° C) 70° D) 75° E) 80°

x PROBLEMA 10.- Si m // n . Calcule la m  x m n A) 20° B) 30° C) 40° D) 50° E) 60°

 PROBLEMA 11.- Si m // n . Calcule la m   m 2 180°-2 n A) 46° B) 48° C) 50° D) 55° E) 60°

PROBLEMA 12.- Si m // n . Calcule la m  x   x 80° m n A) 30° B) 36° C) 40° D) 45° E) 50°

PROBLEMA 13.- Si m // n . Calcule la m  x 80°   m n x A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 20º 8. 50º 30º 9. 80º 45º 10. 30º 10º 11. 60º 120º 12. 40º 36º 13. 50º 7. 32º