I.E. “ESTHER CÁCERES SALGADO” MATEMÁTICA CUARTO GRADO DE SECUNDARIA Juan Leoncio Capristano Gonzales

"LAS FUNCIONES EN NUESTRA VIDA" EVALUACIÓN ACTIVIDAD

¿Cómo inciden el estudio de las funciones en nuestras vidas? 1. Nos hace reflexionar y tomar conciencia A mayor consumo de los de los Kilowat-hora , mayor será el costo mensual de la energía eléctrica

Debemos escuchar, ver , hablar o utilizar menos

2. Nos permite modelar y comprender distintos hechos o fenómenos Caída de los cuerpos. Movimiento (MRU, MRUA). Gravitación universal. El comportamiento en el mercado (La Oferta y la demanda. El interés compuesto El crecimiento de la población

¿Por qué es importante el estudio de las funciones ? En nuestra vida real ocurren variadas situaciones donde una magnitud depende de la otra( funciones) y su estudio es importante porque: Nos permite modelar y comprender distintos hechos o fenómenos Nos hace reflexionar y tomar conciencia de los hechos.

¿En qué situaciones prácticas de nuestra vida están presente las funciones? La tarifa mensual del agua potable y de la energía eléctrica están en función del consumo. El número de objetos que podemos comprar dependen del dinero que dispongamos El salario de un vendedor está en dependencia del número de ventas que realice La masa de un objeto varía según la gravedad Si la velocidad de un móvil es constante, la distancia recorrida por él depende del tiempo empleado ..otras

SALARIO SEMANAL El salario que percibe un mozo es es S, soles , este salario es el resultado de una asignación fija de S/.60 más 50 céntimos por cada uno de los n clientes que atiende El salario esta en función del númerumero de clientes que atiende el mozo S= 60+ 0.50n

SUPERFICIE DE UN CUADRADO La superficie S de un cuadrado está en función de su lado (l) al cuadrado S =l2 l

MOVIMIENTO UNIFORME ACELERADO El espacio (s) recorrido est-a en función del tiempo (t) empleado Ejemplo: Un móvil que parte con una velocidad inicial de 4 m/s y decelera uniformemente a razón de 2m/s2. S= 4t - t2

INTERES BANCARIO Los intereses I que produce un capital inicial de 1000 000 de soles depositado en un banco al 6% durante t años viene dado por : I= 60 000t

Objetivos de aprendizajes previstos: Que el alumno tenga bien claro el concepto de función Que el estudiante abstraiga situaciones donde esté presente la funciones lineales, cuadráticas Que el alumno identifique las distintas funciones Que el estudiante pueda predecir y evaluar una función en la vida diaria

¿ Qué son las funciones ? María fue de compras a una librería y compró cuadernos al precio unitario de S/.3.00 N. cuadernos 1 2 3 4 5 ... 40 ..... x Pago S/. 6 9 15 y =3x Distinguimos los siguientes elementos: 1.- Constante : Precio de cada cuaderno ( S/.3) 2.-Variables: a) Independiente : número de cuadernos ‘’x’’ b) Dependiente : pago efectuado por los cuadernos “y” c) Regla de correspondencia : y= 3x También podemos utilizar f(x) , en lugar de “y” Es decir : y = f(x) =3x Una función, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades

FUNCIÓN LINEAL Es aquella función cuyo dominio y rango es el conjunto de los números reales y está definido por : f: R ----------R x y= f(x) = ax + b , donde : a y b constantes reales y a ,diferente de cero a , es la pendiente y b es el punto del eje y por donde pasa la la gráfica La gráfica es una línea recta

GRÁFICAS DE LA FUNCIÓN LINEAL Observa

¿Cómo uso las computadoras en el aula? Para motivar a los alumnos a través de una presentación agradable multimedia del tema a tratar (animaciones) Para reforzar un contenido (simulaciones) Para evaluar los aprendizajes de los alumnos

Me gustaría aprender Situaciones de la vida real donde se pueda aplicar las funciones matemáticas. Actividades que motiven a los estudiantes en los diferentes tema de matemática Crear animaciones interactivas

Funciones reales de variable real x f(x) x y = f(x) José Manuel Reyes Brito I.E.S. ‘Albert Einstein’ Sevilla

Elementos básicos en el estudio de una función. DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA RECORRIDO o IMAGEN GRÁFICA o GRAFO

DOMINIO o CAMPO DE EXISTENCIA Df = {x  / f(x)  } Es el conjunto de valores que puede tomar x, de manera que f(x) sea un número real: Valores para los que se puede calcular f(x)

RECORRIDO o IMAGEN Rf = {y  / y = f(x), x  Df} Es el conjunto de valores que puede tomar y, como transformados mediante f(x) de los valores del dominio.

GRÁFICA o GRAFO {(x, y)  2/ x  Df, y  Rf} Es el conjunto de puntos del plano de manera que la segunda coordenada sea transformada de la primera mediante f(x). Representados estos puntos en un sistema de ejes cartesianos, nos proporcionarán información gráfica de la función.

Clasificación de las funciones de variable real F. Lineal: y = mx + n F. Cuadrática: y = ax2+bx+c Otras funciones polinómicas Enteras o Polinómicas ALGEBRAICAS Pn(x) Qm(x) Racionales fraccionarias Irracionales o radicales: x aparece bajo una raíz Se comenta la clasificación general de las funciones reales de variable real en dos grandes grupos: algebraicas y trascendentes. Posteriormente se estudiarán los ejemplos más significativos de cada uno de los distintos tipos de funciones, insistiendo en que las funciones lineales y cuadráticas “hay que dominarlas”. Exponencial Logarítmica Trigonométricas ··· ··· ··· TRASCENDENTES

Funciones Lineales: y = mx + n Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Todas las funciones polinómicas tienen dominio 2ª) y = x + 3 1ª) y = x 3ª) y = x - 2 Comenzamos mostrando los casos más sencillos de funciones lineales, empezando por y = x, y añadiendo ordenadas en el origen distintas. Se pretende hacer observar el efecto de desplazamiento lateral que produce la transformación f(x+c), a la izquierda si c>0 y a la derecha si c<0. En este caso concreto también puede interpretarse como desplazamiento vertical: f(x) + c. Hacia arriba si c>0 y hacia abajo si c<0

D f = 1ª) y = 2x +1 2ª) y = 5x +1 3ª) y = (1/3)x +1 Se muestran tres ejemplos manteniendo la misma ordenada en el origen y cambiando los valores de las pendientes para llamar la atención sobre el papel de la ordenada en el origen: Lo que no cambia en la ecuación (n = 1), permanece fijo en la gráfica: Todas pasan por (0, 1) A mayor pendiente, mayor ángulo con la horizontal Ordenada en el origen no cambia

D f = 1ª) y = -3x + 1 2ª) y = -3x + 5 3ª) y = -3x + 2 Se mantiene ahora fija la pendiente y se va cambiando la ordenada en el origen. Al mismo tiempo que se destaca el papel de cada uno de los coeficientes, ahora hemos tomado una pendiente negativa para recalcar el efecto de dicho valor en contraste con los ejemplos anteriores Igual pendiente: paralelas Obsérvese el efecto de la ordenada en el origen

D f = R f =  R f = RESUMEN: Funciones lineales: y = mx + n Gráfica: RECTA R f =  R f = R f = Se muestra el resumen general: Todas las funciones lineales tienen dominio y recorrido , y su gráfica es una recta. Se hace resaltar que el dominio se puede observar mediante la proyección de la gráfica sobre el eje horizontal y el recorrido la proyección sobre el eje vertical Destacar el caso en que la pendiente es 0, en que el recorrido es {n} D f = R f = {-2} ¡Ojo! Si m=0, R f = {n}

Ejemplos de aplicaciones de la función lineal: A) Movimiento uniforme: e = e0 + vt B) 2ª Ley de Newton: F = ma (m constante) C) Dilatación: L = L0(1 + kt) D) Potencia de un salto de agua: P = Caudal·Altura E) Ley de Ohm: V = IR F) Cambio de escala termométrica: C = 5/9·(F-32)

Funciones cuadráticas y = ax2 + bx + c Funciones algebraicas enteras o polinómicas

Como todas las funciones polinómicas D f = Ahora observamos la gráfica con toda su significación Las claves están en los siguientes elementos: Apreciamos un aspecto de la gráfica que no es significativo y que puede llamar a confusiones Cambiamos el rango de representación y observamos las variaciones que se producen Cortes con el eje OX Vértice

Funciones cuadráticas D f = y = ax2 + bx + c Es aconsejable seguir las siguientes pautas en el estudio de una función cuadrática: 1. Hallar los puntos de corte con el eje OX ax2 + bx + c = 0  x1 y x2  (x1, 0) y (x2, 0) 2. Hallar las coordenadas del vértice V(xv, yv) 3. Completar, si es necesario, con una tabla Sólo 1 ó 2 valores. (Corte con el eje OY)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = 1) y = x2 -8x - 9 R f = [-25, +) Vértice (4, -25)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = Tres parábolas que cortan en los mismos puntos al eje OX Obsérvense los coeficientes de x2 V(2, -9) R f = [-9, +) V(2, -5) R f = [-5, +) V(2, -20) R f = [-20, +)

Ejemplos de funciones cuadráticas D f = y = x2 - 3x + 2 y = 3x2 + 2x +1 y = 20x2 - 20x + 5

Rf = (-∞, xv] Ejemplos de funciones cuadráticas D f = Si el coeficiente del término de mayor grado es negativo, las ramas infinitas de la parábola se dirigen hacia abajo: y = - 3x2 – x + 2 ¡Ojo! En este caso: Rf = (-∞, xv] y = - x2 + 7x - 10 y = - 3x2 + x - 2

Ejemplos de aplicaciones de la función cuadrática: A) Movimiento uniformemente acelerado s = s0 + v0t + ½·at2 B) Teorema de Torricelli v2 = 2gh

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