DESCOMPOSICIÓN L U Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Error y condicionamiento Descomposición LU Introducción Explicación General Eliminación de Gauss Matriz Inversa Error y condicionamiento Ejemplo Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Introducción El Método de descomposición LU se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de la forma: [A] {X} = {B} cuando se tienen ecuaciones con los mismos coeficientes A pero con diferentes constantes del lado derecho (diferentes B). Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Error y condicionamiento Descomposición LU Introducción Explicación General Eliminación de Gauss Matriz Inversa Error y condicionamiento Ejemplo Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Explicación General Ecuación original [A] {X} = {B} Ecuación reordenada [A] {X} - {B} = 0 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Ecuación expresada en forma de sistema triangular Método Ecuación expresada en forma de sistema triangular u11 u12 u13 x1 d1 0 u22 u23 x2 = d2 0 0 u33 x3 d3 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Método Mediante una matriz diagonal inferior con números uno en la diagonal 1 0 0 L = 0 1 0 0 0 1 Se realiza la siguiente simplificación [L]{[U] {X}-{D}} = [A] {X}-{B} Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Método Si la ecuación anterior se satisface se obtiene: [L][U] = [A] [L]{D} = {B} Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Pasos Descomposición LU: A se factoriza en matrices triangulares inferior L y superior U. Sustitución: L y U se usan para determinar una solución X para un lado derecho B. Primero se genera un vector intermedio D mediante la sustitución hacia delante. Después el resultado se sustituye en la ecuación para obtener mediante sustitución hacia atrás el valor de X. Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

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Eliminación de Gauss usando descomposición LU A se descompone de forma directa en L y U. U : resultado directo de la eliminación hacia delante. a11 a12 a13 U = 0 a`22 a`23 0 0 a``33 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Eliminación de Gauss usando descomposición LU L se obtiene de un proceso de eliminación mediante un sistema de tres ecuaciones: x1 x2 x3 b1 b2 b3 a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a31 a32 a33 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Eliminación de Gauss usando descomposición LU Paso 1: Multiplicar el reglón uno por F21=a21 / a11 y restar el resultado al segundo reglón para eliminar a21 a21-a11*a21 = 0 a22-a12*a21 = a`22 a11 a11 a23-a13*a21 = a`23 a11 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Eliminación de Gauss usando descomposición LU Paso 2: Multiplicar el reglón uno por F31 = a31 / a11 y restar el resultado al renglón tres a31- 0*a31 = 0 a32-a12*a31 = a`32 a11 a11 a33-a13*a31 = a`33 a11 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Eliminación de Gauss usando descomposición LU Paso 3: multiplicar el segundo renglón modificado por F32 = a´32 / a´22 y restar este resultado al tercer renglón. 0 - 0*a`32 = 0 a´32 - a`22*a`32 = 0 a`22 a`22 a´33 - a`23*a`32 = a``32 a`22 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Eliminación de Gauss usando descomposición LU Se almacenan los factores F21, F31 y F32 en los ceros que fueron creados mediante la eliminación anterior. a11 a12 a13 1 0 0 U = L = 0 a`22 a`23 f21 1 0 0 0 a``33 f31 f32 1 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Eliminación de Gauss usando descomposición LU Después de descomponer la matriz, se puede generar una solución para un vector particular B. Primero se realiza un paso de sustitución hacia delante para encontrar D. El lado derecho queda sin alterar. En el segundo paso se realiza la sustitución hacia atrás, para obtener X. Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Error y condicionamiento Descomposición LU Introducción Explicación General Eliminación de Gauss Matriz Inversa Error y condicionamiento Ejemplo Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Matriz Inversa Si una matriz [A] es cuadrada, existe otra matriz [A]־ ¹, conocida como la inversa de [A], de lo que se cumple que: [A][A]־ ¹ = [A]־ ¹[A] = [I] [I] es la Matriz identidad Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Matriz inversa por Gauss-Jordan Ya que el algoritmo de descomposición LU es ideal para evaluar los vectores unitarios requeridos en el cálculo de la inversa. a11 a12 a13 1 0 0 1 0 0 a21 a22 a23 0 1 0 0 1 0 A־ ¹ a31 a32 a33 0 0 1 0 0 1 Matriz inversa por Gauss-Jordan Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Matriz Inversa 1 0 0 d1 f21 1 0 d2 = d3 f31 f32 1 d se resuelve como un sistema de ecuaciones normales de 3 incógnitas: 1 1 0 0 d1 f21 1 0 d2 = d3 f31 f32 1 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

La xt va a ser la primera columna de la inversa de [A] Matriz Inversa x se resuelve como un sistema de ecuaciones normales de 3 incógnitas a11 a12 a13 x1 t D 0 a`22 a`23 x2 = x3 0 0 a``33 La xt va a ser la primera columna de la inversa de [A] Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

Matriz Inversa El procedimiento se repite para obtener los otros términos de la matriz inversa pero el sistema de ecuaciones se iguala a las siguientes vectores unitarios 1 1 Para la tercera columna Para la segunda columna Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

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ERROR Y CONDICIONAMIENTO Existen 3 métodos para determinar si los sistemas están mal condicionados: Escalar la matriz de coeficientes [A], de tal manera que el elemento más grande en cada renglón sea 1.Se invierte la matriz escalada, y si existen elementos [A] ־¹ que sean varios órdenes de magnitud mayores que uno, es posible que el sistema esté mal condicionado. Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

ERROR Y CONDICIONAMIENTO Multiplicar la inversa por la matriz de coeficientes original y estimar si el resultado es lo suficientemente cercano a la matriz identidad. Si no es así, esto indica que el sistema esta mal condicionado. Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

ERROR Y CONDICIONAMIENTO Invertir la matriz inversa y estimar si el resultado está lo suficientemente cercano a la matriz de coeficientes original. Si no es así, esto de nueva cuenta indica que esta mal condicionado. Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

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EJEMPLO Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

EJEMPLO L = l22 = -4 – 4 * 7 = -32 l32 = -1 - 12 * 7 = -85 U = l22 = -4 – 4 * 7 = -32 l32 = -1 - 12 * 7 = -85 u23 = (9 – 4 * -4) / -32 = -0.78125 l33 = 3 -12 *-4—85 * (-0.78125) = -15.40625 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

EJEMPLO L = U = Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

EJEMPLO Y ahora se tiene: Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

EJEMPLO Se encuentran los valores de y: Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González

EJEMPLO Donde: x3 = 5.61866 x2 = -8.3125 + 0.78125 * 5.61866 = -3.92292 x1 = -51 + 7 * 3.92292 + 4 * 5.61866 = -1.06491 Verónica Miranda, Mariano Avilés, Andrés Navarro, Katherine González