Integración. 6.2 El Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de Barrow Necesitamos dotar de significado el símbolo aunque a y b no verifiquen que a<b. Sean A un cto no vacío de números reales y f : A   Dado a en A es coherente con las propiedades de la integral admitir que f es integrable en [a,a] y que Consideremos ahora dos números reales a y b con a<b y supongamos que [a,b]  A y que f es integrable en [a,b]. Entonces escribiremos

Página T.F.CÁLCULO y Regla de BARROW La aditividad de la integral respecto del intervalo de integración puede generalizarse: Sean a, b y c son números reales a:=Min {a,b,c} y  :=Max{a,b,c} y consideremos f:A   tal que [ ,  ]  A. Si f es integrable en [ ,  ], entonces Observemos que esta igualdad se verifica aunque c no sea un punto intermedio entre a y b. Definición Sea I un intervalo de , y f: I   una función. f es localmente integrable en I si es integleble en todo intervalo cerrado y acotado contenido en I. En tal caso, dado a en I, la función F: I   definida por Función integral asociada a f con origen en el punto a.

Página T.F.CÁLCULO y Regla de BARROW Dos funciones integrales asociadas a una misma función se diferencian en una constante. OBSERVACIÓN: Si f es continua ó monótona en I, entonces f es localmente integrable en I. Además, si I es cerrado y acotado, f es localmente integrable en I  f es integrable en I Si f: I   es una función localmente integrable en I, a,b  I, y F,G son las funciones integrales asociadas a f con origen en los puntos a y b, respectivamente Por tanto, dos funciones integrales asociada a una misma función (localmente integrable) se diferencian en una constante

Página T.F.CÁLCULO y Regla de BARROW Si I es un intervalo, A es un subcto de  tq I  A y f: A   es una función cuya restriccion a I es localmente integrable en I, diremos sencillamente q f es localmente integrable en I. Enunciamos ya el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Teorema Sea I un intervalo no reducido a un punto, f: I   una función localmente integrable en I y F la función integral asociada a f con origen en un punto a de I, esto es Se verifica que: i)F es continua en I. ii)Si f es continua en un punto x 0  I, entonces F es derivable en x 0 y F’(x 0 )=f(x 0 ). Como consecuencia, si f es continua en I, entonces F es derivable en I y se tiene que F´(x)=f(x) para todo x en I

Página T.F.CÁLCULO y Regla de BARROW Como consecuencia, tenemos que toda función continua en un intervalo (no reducido a un punto) es la función derivada de otra. Sea I un intervalo no reducido a un punto, f: I   una función. Si existe una función G: I  , derivable en I, tal que G’=f, decimos que f admite primitiva y que G es una primitiva de f. Es inmediato que dos primitivas de f se diferencian en una constante. Por tanto, si una función f: I   admite primitiva, todas las primitivas de f pueden describirse fácilmente a partir de una cualquiera de ellas. El conjunto de todas las primitivas de una función se llama integral indefinida de la función. Si f: I   tiene al menos una primitiva, entonces notaremos por su integral indefinida.

Página T.F.CÁLCULO y Regla de BARROW REGLA DE BARROW Sea f: [a,b]   una función integrable y Supongamos qe f admite una primitiva G. Entonces, Las dos hipótesis que aparecen en este teorema son independientes pues existen funciones integrables que no admiten primitiva y funciones que admiten primitiva y no son integrables. Señalemos que aunque una función admita primitiva no siempre es posible expresarla en términos de las funciones elementales mediante las operaciones habituales y, por tanto, la regla de Barrow no resulta útil en estos casos. A la vista del teorema anterior, las técnicas de cálculo de integrales indeterminadas estudiadas en cursos anteriores resultan ser de gran utilidad para la evaluación de integrales.

Página INTEGRALES IMPROPIAS La noción de integrabilidad que hemos estudiado tiene importantes limitaciones pues está concebida para funciones acotadas definidas en intervalos cerrados y acotados. Vamos a extender tal noción de modo que podamos aplicarla a funciones no necesariamente acotadas y/o definidas en intervalos abiertos o semiabiertos, que perfectamente podrán no ser acotados. A pesar de q la extensión es completamente natural, hemos de señalar que en este proceso se pierde alguna propiedad básica de la integral y es por ello que las integrales resultantes se califican de impropias. Sean a   y b    {- ,+  } tales que a<b. Consideremos  A  , tal que [a,b[  A y f: A   localmente integrable en [a,b[. Decimos que f es impropiamente integrable en [a,b[ si la función F: [a,b[   definida por tiene límite en b.

Página INTEGRALES IMPROPIAS En tal caso, el valor de dicho límite recibe el nombre de integral impropia de f en [a,b[ y se denota por Así pues, Análogamente, se definen las int. impropias en intervalos del tipo ]a,b], donde b   y a    {- ,+  } tales que a<b. Consideremos  A  , tal que ]a,b]  A y f: A   localmente integrable en ]a,b]. Decimos que f es impropiamente integrable en ]a,b] si la función F: ]a,b]   definida por tiene límite en b. En tal caso, el valor de dicho límite recibe el nombre de integral impropia de f en ]a,b] y se denota por Así

Página INTEGRALES IMPROPIAS El siguiente resultado nos permitirá definir integrales impropias en intervalos abiertos (no necesariamente acotados). Proposición Sean a, b    {- ,+  },  A  , tal que ]a,b[  A y f: A   localmente integrable en ]a,b[. Supongamos que existe c en  con a<c<b tal que f es impropiamente integrable en ]a,c] y [c,b[. Entonces para todo número real c’ con a<c’ <b, la función f es impropiamente integrable en ]a,c’] y [c’,b[ y se verifica

Página INTEGRALES IMPROPIAS Consideremos pues a, b    {- ,+  } con a<b. Si  A  , tal que ]a,b[  A y f: A   una función localmente integrable en ]a,b[, decimos q f es impropiamente integrable en ]a,b[ si existe un número real c en ]a,b[, tal que f es impropiamente integrable en ]a,c] y [c,b[. Además, en caso afirmativo, el número real recibe el nombre de integral impropia de f en [a,b].

Página APLICACIONES Acabamos el tema con una aplicación típica del cálculo integral que expondremos de forma intuitiva. Sea I un intervalo no reducido a un punto, f,g: I   funciones localmente integrables en I tales que g(x)  f(x) para todo x en I. Consideremos el cto que, como podemos ver, corresponde a una porción del plano, que está comprendida entre las gráficas de f y g. Si I es un intervalo cerrado y acotado es claro que f y g son integrables en I y es natural decir que la integral de f-g en I es el área de R. Si I es un intervalo abierto o semiabierto, diremos que R tiene área si f-g es impropiamente integrable en I. En tal caso, la integral impropia de f en I recibe el nombre de Area de R.