TERCER GRADO

La función cuadrática o parabólica. La parábola Su gráfica es una parábola

SE TRATA DE UNA FUNCION DE LA FORMA: f(x) = x 2 + bx + c Donde: a, b y c, son número reales y a ≠ 0 Alguno autores lo expresan de la siguiente manera: Y = a x 2 + b x + c La parábola siempre tiene un punto máximo o mínimo, llamado vértice. La recta vertical que pasa por el vértice recibe el nombre de eje de la parábola y divide a la parábola en dos partes simétricas.

si el coeficiente a es mayor que cero la parábola es cóncava ("se abre hacia arriba") y si es menor que cero es convexa ("se abre hacia abajo").

Caso 1 (solo el termino cuadrático) En este caso la ecuación de la función parabólica viene dada por f(x)=ax 2 Estas parábolas siempre pasan por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0, 0) punto que, además, es el vértice de la misma.

CASO 2 7 e mayo del 2021 Ahora la parábola tiene la función: Su gráfica es exactamente igual que la del caso anterior, sólo que se ha desplazado c unidades hacia arriba o hacia abajo (dependiendo de que c sea mayor o menor que cero). Por tanto el vértice pasa a ser ahora el punto (0, c)y el eje de la parábola sigue siendo el eje Y. + c f(x)=ax 2 + c

Caso 3 Ahora la ecuación de la parábola adopta la forma Resolviendo la ecuación (factorización) Resolviendo la ecuación, tenemos dos soluciones X =0 y X = -b/a Esto quiere decir que la parábola corta al eje Y en dos puntos, como estos dos puntos tienen la misma coordenada son simétricos, es decir uno positivo y otro negativo. f(x)=ax 2 + bx

CASO 4 La ecuación de la parábola es f(x)=ax 2 + bx + c Este tipo de parábolas siempre cortan al eje Y en el punto(0, c). Si esta ecuación no tiene soluciones la parábola no cortará al eje X y estará toda ella por encima o por debajo del mismo (si a>0por encima y si a<0 por debajo). Si la ecuación sólo tiene una solución porque el discriminante sea cero (b2−4ac=0) la parábola toca al eje X en un sólo punto (es tangente al mismo). Además este punto será el vértice de la parábola. Si la ecuación tiene dos soluciones, la parábola cortará al eje X en los puntos (x1, 0) y (x2, 0).

ELEMENTOS BÁSICOS VERTICE: A la coordenada x de este punto la llamaremos x v y a la y, y v. El vértice de la parábola vendrá dado por las siguientes coordenadas: V =(x v ; y v ). Las coordenadas del vértice también pueden hallarse analíticamente por las siguientes expresiones: El valor x v se obtiene con la misma expresión que el eje de simetría: Una vez obtenido el valor x v podemos determinar y v evaluando la función cuadrática y v = f(x v ). El eje de simetría tiene por ecuación

 EJEMPLO:  DADA LA SIGUIENTE ECUACIÓN ENCONTRAR EL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA QUE DETERMINA LA FUNCIÓN:  X² + 9X + 18  A) obtener los valores de los coeficientes:  a = 1 b = 9 c = 18  B) sustituir valores en la formula:  Xv = -b/2a  Xv = -(9)/2(1)  Xv= -9/2 = -4.5  C) PARA ENCONTRAR EL VALOR DE Yv, SUSTITUIMOS EL VALOR X EN LA ECUACIÓN ORIGINAL

¿COMO SE ENCUENTRA EL VERTICE DE UNA PARABOLA?

PARA EL EJE X:

PARA Y: Solo basta sustituir el valor encontrado de x en la función

Se escriben los valores en forma de coordenada

 Determina el vértice de la parábola de la siguiente función:  F(x) = x²+ 4x +16  a= 1 b = 4 c = 16  Xv= -b/2a  Xv = - (4)/2(1)  Xv = -4/2  Xv = - 2

 F(x) = x²+ 4x +16  F (x) (-2)² + 4(-2) + 16  F(x) = 4 –  F(x) = 20-8  F(x) = +12  V ( Xv, Yv)  V = (-2, 12)

Puntos de corte de una función cuadrática Dependiendo del valor del discriminante (D) de la ecuación, se pueden presentar tres situaciones distintas: Si D > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas y la parábola cortará al eje X en dos puntos.la parábola cortará al eje X en dos puntos Si D = 0, la ecuación tiene una solución real y, por tanto, la parábola cortará al eje X en un punto (que será el vértice).la parábola cortará al eje X en un punto Si D < 0, la ecuación no tiene soluciones reales y la parábola no cortará al eje X.la parábola no cortará al eje X

EJE DE SIMETRÍA: El eje de simetría siempre es vertical, y pasa por el vértice, luego su ecuación será: x = -b/2a PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: En el eje Y la coordenada x es cero, luego, sustituyendo este valor en la fórmula, hallamos la y: y = a·0 2 + b·0 + c = c, por lo que el punto de corte es el ( 0, c )

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES: En el eje Y la coordenada x es cero, luego, sustituyendo este valor en la fórmula, hallamos la y: y = a·0 2 + b·0 + c = c, por lo que el punto de corte es el ( 0, c ) En el eje X, es la y la que vale cero. Sustituimos en la fórmula y hallamos los valores de x: 0 = ax 2 + bx + c

Tenemos una ecuación de segundo grado, que puede tener dos soluciones, una o ninguna, es decir, la parábola puede cortar al eje X en dos puntos, en uno o en ninguno:

EJERCICIOS 1.- Representa gráficamente la función cuadrática: f(X) = -x² + 4x – 3 A) Vértice x v = − 4/ −2 = 2 y v = −2² + 4· 2 − 3 = 1 V(2, 1) B) Puntos de corte con el eje OX. Se resuelve la ecuación con la formula General y los valores encontrados de X, se utilizan para los puntos de corte: f(x) = x² − 4x + 3 = 0 (3, 0) (1, 0) Punto de corte con el eje OY. ( 0, c ) (0, −3)

Por ultimo se grafica la función

Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² + 2x + 1 Vértice x v = − 2/ 2 = −1 y v = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0 V(− 1, 0) Puntos de corte con el eje OX. x² + 2x + 1= 0 Coincide con el vértice: (−1, 0) Punto de corte con el eje OY. (0, 1)

Representa gráficamente: y = x² +x Vértice. x v = −1/ 2 y v = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= 3/4 V(−1/ 2, 3/ 4) 2. Puntos de corte con el eje OX. x² + x + 1= 0 1² − 4 < 0 No hay puntos de corte con OX. 3. Punto de corte con el eje OY. (0, 1)