El Control Automático : INGENIERIA EN ENERGIA MODELOS DE SISTEMAS : MECANICOS, ELECTRICOS, FLUIDICOS, TERMICOS, ELECTROMECANICOS, HIDROMECANICOS RESPUESTAS DEL SISTEMA: SISTEMAS DE PRIMER ORDEN SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Ing. César López Aguilar

RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL La respuesta de un sistema de control o de un elemento del sistema, está formada por dos partes: La Respuesta en estado estable, es la respuesta que permanece después de que desaparecen todos los transitorios La Respuesta transitoria, es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparece después de un breve intervalo.

RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL Para describir por completo el comportamiento de un sistema, el modelo debe considerar la relación de entradas y las salidas, los cuales son función del tiempo y, por lo tanto son capaces de describir los comportamientos tanto transitorio como en estado estable. e(t) s(t) SISTEMA

RESPUESTAS DE UN SISTEMA DE CONTROL El tipo de modelo que con frecuencia se emplea para describir el comportamiento de un sistema de control o elemento del sistema de control, es una ecuación diferencial. Las ecuaciones diferenciales son las que involucran derivadas. Estas se pueden clasificar en: Primer Orden , dx/dt Segundo Orden, d(dx/dt)/dt = d²x/dt² Tercer Orden, d³x/dt³ Los métodos de solución de estas ecuaciones son : Prueba solución, que satisface Transformaciones, es decir que se pueda manejar mediante álgebra convencional.

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN Un tanque de un agua controlado por un flotador, fig. 1. dh = k(H-h) donde dh/dt es la razón de cambio dt de la altura y k, una constante Mientras sube el nivel del agua el valor de (H-h) es menor, y de esta forma es menor de cambio de la altura con el tiempo (dh/dt). Una gráfica de la altura de agua contra el tiempo se muestra en la fig. 2 La ecuación que describe esta gráfica es: h= H (1-e-kt) En este sistema se puede considerar como entrada la atura requerida H y como salida h, ver fig. 3 h H H h H SISTEMA h Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN Un capacitor en serie con un resistor dVc = 1 (V-Vc) donde dVc/dt es la razón de cambio dt RC de Vc y es proporcional a (V-Vc). Donde R es la resistencia y C la capacitancia. La Fig. 2, muestra como varía Vc con el tiempo. La gráfica tiene la ecuación. Vc= V (1-e-t/RC) Se puede considerar que este sistema, tiene la entrada el voltaje V y como salida la diferencia de potencial Vc (fig. 3) Vc V V V SISTEMA Vc Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

CONCLUSION Todos los sistemas de primer orden tienen la característica que la razón de cambio de alguna variable es proporcional a la diferencia entre esta variable y algún valor de ajuste de la variable.

PRACTICA CALIFICADA 4 Cuál será la forma de la ecuación diferencial cuando un termómetro se sumerge en un líquido caliente a una temperatura Th. Cuál será la ecuación de la gráfica de T contra el tiempo. Graficar el sistema de control. Cuál será la forma de la ecuación diferencial para un circuito que consta de un resistor R en serie con un inductor L. Cuál será la ecuación de la gráfica de Vl contra el tiempo. Graficar el sistema de control.(Vl= tensión del inductor)

LA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN Una ecuación diferencial de primer orden es en general de la forma a1 dΦo + ao Φo = bo Φi dt Donde a1, ao, bo son constantes, Φi es la función de entrada al sistema y Φo la salida. dΦo/dt es la razón de cambio a la cual la salida cambia con el tiempo.

SEÑALES DE ENTRADA Las señales de entrada al sistema pueden adoptar diferentes formas, la más común es la de escalón; ésta se presenta cuando la entrada cambia de valor de manera abrupta. Un ejemplo de este caso es cuando el voltaje se conecta a un circuito. Un impulso es una entrada de corta duración, una rampa es una señal que se incrementa en forma estable y una entrada senoidal es aquella que se describe por senwt.

SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN a1 dΦo + ao Φo = bo Φi Esta es nuestra ecuación dt Se hace la sustitución Φo = u +v u =respuesta transitoria v = Respuesta forzada Para una entrada Φi tipo escalón, la solución es: Φo = (bo / ao ) Φi (1-e- ao t/ a1) La solución es diferente si la señal es tipo rampa o tipo senoidal. Φi

PRACTICA CALIFICADA 5 Demostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un sistema eléctrico formado por resistor en serie con un capacitor. Considerar la forma de señal de entrada tipo escalón. Demostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un sistema formado por un tanque de agua controlado por un flotador.

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Una ecuación diferencial de segundo orden es en general de la forma d²Φo +2ζ wn dΦo + w²n Φo = b1 w²n Φi dt² dt Donde wn es la frecuencia angular con la cual el sistema oscilará libre en ausencia de cualquier tipo de amortiguamiento y ζ es el factor de amortiguamiento relativo. Cuando ζ=0 se tiene oscilaciones libres(fig.) si ζ<1, la situación de la fig. 2, si ζ> 1, ver fig. 3. Fig. 1 Fig. 2

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN Un circuito RLC en serie presenta una ecuación de segundo orden cuando se aplica una entrada escalón de magnitud V. d²i +R di + 1 i = V i dt² L dt LC LC Donde i es la corriente del circuito, es la señal de salida. R,L,C son constantes

TRANSFORMADAS DE LAPLACE La transformada de Laplace es un método que transforma una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Se dice que el comportamiento del circuito en el dominio del tiempo, se transforma en el dominio de s, en el cual se pueden realizar manipulaciones algebraicas. Así una funcion f(t) se representa en con la transformada de Laplace como. F (s) = ∫ f (t) e –stdt Ejemplo : v(t)=R i(t) , La tensión en el tiempo, aplicada en circuito de resistencia R, genera un corriente en función del tiempo. Si se toman las transformadas de Laplace de i y v , la ecuación se convierte en V (s) = R I (s) ∞

TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON La función escalón se describe como un cambio abrupto en alguna cantidad, y con frecuencia se emplea para describir el cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio en la entrada al sistema cuando se hace un cambio súbito en su valor; por ejemplo cuando éste se enciende de manera súbita. La figura muestra la forma que tomaría una entrada escalón cuando tiene lugar un cambio abrupto en la entrada en el tiempo t=0 y la magnitud del escalón es 1. La ecuación para esta función es f(t)=1, para todos los valores t mayores que 0. Para los valores de t menores que 0 la ecuación es f(t)=0. La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es : F(s) = 1 s

TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA UNA FUNCION ESCALON Supongamos ahora que en lugar de una señal de entrada escalón de altura de 1 unidad, se tiene uno de una altura de a unidades, como se muestra en la figura. Para todos los valores t mayores que 0 se tiene f(t)=a. La transformada de Laplace de esta función escalón, para valores mayores que 0, es : F(s) = a s

PRACTICA CALIFICADA 6 Determinar, con base a la tabla 4.1 de nuestra bibliografía, la transformada de Laplace para: Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=0. Un escalón de voltaje de magnitud de 4 v, que empieza en t=2 seg. Una rampa de voltaje que empieza en t=0 y se incrementa a razón de 3 v/s Una rampa de voltaje que empieza en t=2 s y se incrementa a razón de 3 v/s. Un impulso de voltaje de magnitud 4 V que empieza en t=3s Un voltaje senoidal de amplitud 2 V y frecuencia angular de 10 Hz. Para ambos casos graficar la señal en función del tiempo.

PRACTICA CALIFICADA 7 Emplear la transformada de Laplace para resolver las siguientes ecuaciones 3 dx/dt + 2x = 4 V = RC dVc/dt + Vc circuito eléctrico RC serie