Transformaciones Isométricas Retroalimentar Geometría Transformaciones Isométricas

Aprendizajes esperados: Describir los cambios que presentan puntos o figuras planas, al aplicar una traslación, rotación o simetría. Resolver ejercicios que involucren transformaciones geométricas como: traslación, rotación y simetría.

Contenidos Transformaciones Isométricas 2. Tipos de Tranf. Isométricas 1.1 Definición 2. Tipos de Tranf. Isométricas 2.1 Traslación 2.2 Rotación 2.3 Simetría o reflexión - Simetría Axial - Simetría Central 3. Teselación

1. Transformaciones Isométricas Definición La palabra isometría, significa “igual medida”, por lo tanto, en una transformación isométrica: 1) No se altera la forma ni el tamaño de la figura. 2) Sólo cambia la posición (orientación o sentido de ésta).

2. Tipos de Transformaciones Isométricas 1. Traslaciones 2. Rotaciones (giros) 3. Simetrías

2.1 Traslación Se puede considerar una traslación como el movimiento que se hace al deslizar una figura, en línea recta, manteniendo su forma y tamaño. Una traslación en el plano, corresponde a una aplicación T(a, b) que transforma un punto P(x,y), en otro P´(x + a, y + b ). T(a, b) P(x, y) P´( x + a, y + b ) Ejemplo 1: T(3, -5) P(2, 1) P´(2 + 3, 1 + -5) P´(5, -4)

La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN” -1 1 2 3 4 y x 5 -3 -2 -4 -5 P P´ La aplicación T(a, b) se denomina “VECTOR TRASLACIÓN”

Ejemplo 2: El triángulo PQR, de vértices P(1,2), Q(3,1) y R(4,3) se “traslada” al aplicar el vector traslación T(-4,2), y las coordenadas de sus nuevos vértices son: P´, Q´ y R´. T(-4,2) P(1,2) P´(-3,4) Q(3,1) Q´(-1,3) R(4,3) R´(0,5)

Gráficamente, el triángulo se traslada 4 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba. 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 P(1,2) P´(-3,4) Q(3,1) Q´(-1,3) R(4,3) R´(0,5)

2.2 Rotación Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación y un ángulo. < 0: centro de rotación La rotación es positiva si es en sentido contrario a los punteros del reloj.

Rotación en el plano cartesiano: Si el punto A (x,y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° ó en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla: 90° 180° 270° 360° A(x,y) Punto Ángulo (-y,x) (-x,-y) (y,-x) (x,y) Ejemplo 1: 90° 180° 270° 360° A(5,-8) Punto Ángulo (8,5) (-5,8) (-8,-5) (5,-8)

Ejemplo 2: Si el punto A (2,3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el punto A´(-3,2). 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 A A´

2.3 Simetría o Reflexión Tipos de Simetrías: Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura geométrica, produce el efecto de un espejo. Tipos de Simetrías: Simetría Axial: Reflexión respecto de un eje. Eje de Simetría

La Simetría axial corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada Eje de Simetría. Eje de Simetría: X=1 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 M A A´ AA´ es perpendicular al eje de simetría AM = MA´

Simetría Central: Reflexión respecto de un punto. O : centro de rotación AO = OA´

La Simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el “simétrico” de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde OA = OA` y A`pertenece a la recta AO. Ejemplo: 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 B C OA = OA´ A O A´ OB = OB´ OC = OC´ C´ B´ La simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.

3. Teselaciones Ejemplos: Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se superpongan las figuras. Ejemplos: M.C. Escher

Teselación del plano por polígonos regulares Los tres polígonos regulares que recubren el plano son: Triángulo equilátero Cuadrado Hexágono regular Sólo estas tres figuras teselan regularmente el plano.

Las teselaciones se crean usando Transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Simetría + Traslación

CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS

Determina a simple vista cuál de las siguientes figuras es congruente con su pareja

¿ Cuando dos figuras planas son congruentes? Dos Figuras planas son congruentes cuando son idénticas en tamaño y forma, es decir, cuando al poner una sobre otra coinciden totalmente.

¿ Cuando dos figuras planas son congruentes? Cuando podemos transformar la primera figura a través de una o varias transformaciones isométricas en la segunda figura. Los vértices y lados que coinciden se llaman correspondientes. (homólogos)

¿ Cuando dos figuras planas son congruentes? Se utiliza el símbolo ≅ que se lee “es congruente con” En dos figuras congruentes los ángulos de vértices correspondientes y los lados correspondientes son congruentes.

1. Figuras congruentes 1.1 Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:

 1. Figuras congruentes 1.2 Triángulos congruentes Para determinar si dos triángulos son congruentes, podemos utilizar los siguientes criterios: 1° Lado, lado, lado (L.L.L.): Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: A C B D F E  8 8 6 6 10 10 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC  Δ DEF

 1. Figuras congruentes 1.2 Triángulos congruentes 2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.):Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. Ejemplo: A B C E F D  3 3 a a 5 5 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC  Δ DEF

 1. Figuras congruentes 1.2 Triángulos congruentes 3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A.): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C E F D  b b 12 12 a a Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC  Δ DEF

2. Figuras equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado 2√ p , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4p Área = 4p

Para los alumnos de Segundo Y Primero Medio En esta presentación encontrarás : Definición y ejemplos del concepto de semejanza Criterios de semejanza de triángulos y ejemplos Descripción del concepto de semejanza y ejemplos Una sencilla demostración Algunos ejercicios sencillos Todos estos elementos son la base de los contenidos relacionados con la unidad de semejanza

Semejanza

Ejemplos de figuras semejantes Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño Ejemplos de figuras semejantes

No son figuras semejantes

Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales Definición geométrica: Dos figuras son semejantes cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos (correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus ángulos correspondientes son congruentes Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos son semejantes? ¿Tienen sus lados respectivos proporcionales? 10cm 4cm 5cm 2cm Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 •2 = 5 • 4 ¿Son sus ángulos correspondientes congruentes? Al cumplirse las dos condiciones anteriores, podemos decir que los dos rectángulos son semejantes Efectivamente, al tratarse de dos rectángulos, todos los ángulos miden 90º y se cumple que los ángulos correspondientes son congruentes

Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

Criterios o Postulados de semejanza de triángulos existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de criterios postulados de semejanza de triángulos

Existen tres criterios o Postulados de semejanza de triángulos AA ( ángulo-ángulo) LLL (lado-lado-lado) LAL (lado-ángulo-lado)

Primer criterio AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a´ a b´ b g´ g Es decir: Si a = a´ , b = b´ de lo anterior se deduce que g = g´ Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

¡SI! Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? 25 65 ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

II. Segundo criterio LLL Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C b b´ a a´ c c´ Es decir: El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. a ¨´ a = b´ b = =K o tb r c´ c Entonces, D ABC semejante con DA´B´C´

Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales Ejemplo Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes A B C P Q R 1,5 3,5 5 3 7 10 Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 3,5 7 5 10 1,5 3 = = Efectivamente , así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5 3,5 • 10 = 7 • 5 = 35 Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

III. Tercer criterio LAL Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente, son semejantes entre sí. A´ B´ C’ A B C a a´ y a = a´ a a´ c´ c Es decir: = Entonces D ABC semejante a D A´B´C´

Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales Ejemplo ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales A B C 4 3 D E F 9 12 3 9 4 = 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

Algunas aplicaciones de estos conceptos

Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones Ejercicio Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza. a) 8 cm, 10 cm, 12 cm b) 52 cm, 65 cm, 78 cm Efectivamente, al calcular los productos “cruzados”, podemos ver la proporcionalidad entre las medidas de los lados respectivos 52 •10 = 8 • 65 = 520 65 • 12 = 10 •78 = 780 65 10 78 12 Representemos el ejercicio 8 10 12 78 65 52 52 8 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 65 : 10 = 6,5 6,5 = = = Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

La razón de semejanza es 3 Ejercicio Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?. 3 4 5 x y z Representamos la situación = 9 X 3 Y 4 Z 5 12 = =15 Luego, debe ocurrir: 3 1 Entonces: X 3 X= 3· 3 = 9 = = = =3 = 3 Y 4 =12 Escala de ampliación Y = 4 · 3 =3 La razón de semejanza es 3 Z = 5 · 3 = 15 Z 5 =3

Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones Otro ejercicio similar Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?. Para comprobar la proporcionalidad podemos efectuar los productos “cruzados” 30x16=480 y 40x12=480 además 40x20=800 y 16x50=800 50 30 40 12 16 20 Para calcular la razón de semejanza se calcula una de las razones 50 : 20 = 2,5 Comprobemos que las medidas de los lados homólogos son proporcionales 30 12 40 16 50 20 = =

Una aplicación x = De donde = 6,75m 3 • 4,5 X = 2 Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema). Son semejantes por que cumplen el criterio AA, tienen iguales el ángulo recto y el ángulo de elevación que forman los rayos solares con el suelo 4,5m x 3m 2m sombra poste Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su sombra son semejantes, por lo tanto Formamos la proporción = 3 x 2 4,5 X = 3 • 4,5 2 De donde = 6,75m