LÓGICA PROPOSICIONAL La lógica proposicional o también llamada lógica matemática estudia las proposiciones. Una proposición es un enunciado declarativo que tienen la propiedad de ser verdadero o falso; pero no ambas al mismo tiempo

NO ES PROPOSICIÓN ¿Por qué la expresión 3 - x = 5 es una oración declarativa, pero no es una proposición? 3 - x = 5 no es una proposición porque no sabemos su valor de verdad a menos que asignemos un valor a la variable x. ¿Por qué la expresión “¿Habla usted español?” no es una proposición? La expresión, “¿habla usted español?” no es una proposición porque no es un enunciado declarativo sino interrogativo. ¿Por qué la expresión “tome dos aspirinas” no es una proposición? Porque se trata de un enunciado imperativo, es una orden, no es un enunciado declarativo.

Axioma Un axioma o postulado es una proposición inicial que se presupone verdadera. El conjunto de postulados de los cuales se desprenden las demás proposiciones de un sistema se llama conjunto de postulados del sistema. En éste, uno de los axiomas no debe ser deducible de los otros. EJEMPLO Uno de los postulados de la geometría euclidiana es el de la recta: “Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene”. Este postulado o axioma forma parte de un conjunto de postulados del sistema que plantea la geometría de Euclides, estudiada desde la escuela elemental. Postulados de Euclides Dos puntos cualquiera determinan un segmento de recta. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Postulado de las paralelas. Definición de geometría euclidiana. Se llama geometría al estudio de las magnitudes y las características de las figuras que se encuentran en el espacio o en un plano. Euclidiano, por su parte, es aquello vinculado a Euclides, un matemático que vivió en la Antigua Grecia.

La característica básica de un postulado o axioma es el hecho de ser independiente de otras proposiciones. Ejemplo: En nuestro estudio de geometría aceptamos cierta la proposición: “Dos rectas no pueden cortarse en más de un punto”. Éste es otro ejemplo de los postulados o axiomas sobre los que se apoya el sistema geométrico euclidiano.

Teorema Un teorema es cualquier proposición que se desprende de otra proposición o proposiciones dadas por supuestas o previamente demostradas dentro del sistema. Así, un teorema es una proposición cuya veracidad requiere ser demostrada a partir de otras. EJEMPLO El teorema del triángulo isósceles establece que “si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes”. Este teorema se demuestra a partir de otras proposiciones, entre las cuales se cuenta uno de los postulados para congruencia de triángulos (lado-ángulo-lado, L L ). Los ángulos congruentes son ángulos con exactamente la misma medida. Ejemplo: En la figura mostrada, A es congruente a B ; ambos miden 45 o . La congruencia de ángulos se muestra en las figuras marcando los ángulos con el mismo número de arcos pequeños cerca del vértice (aquí los marcamos con un arco rojo).

Proposiciones. Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural, las cuales podamos afirmar que son verdaderas o falsas. Ejemplos de proposiciones: Dos es par Tres es mayor que diez Tres más cuatro es nueve

TIPOS DE PROPOSICIONES Proposición simple: Proposiciones compuestas. Ej. Ecuador es un país latinoamericano. ej,. No fui al trabajo. Fui a clase y di la prueba el libro de mate o es blanco o es azul Si gano el concurso, entonces trabajo Estudio en la UNAE si y solo si me esfuerzo surge la necesidad de

"Tres es mayor que cuatro". "Tres más cinco es mayor que cuatro". Una proposición es simple o atómica, si ninguna parte de ella es a su vez una proposición. Ejemplos de proposiciones simples o atómicas: “Dos es un número par". "Tres es mayor que cuatro". "Tres más cinco es mayor que cuatro". Se usan letras minúsculas p, q, r, s,...etc., para denotar proposiciones simples o atómicas.

CLASES DE PROPOSICIONES: SIMPLES, ATÓMICAS O ELEMENTALES: 60 es múltiplo de 10 Todo cuadrado es un cuadrilátero La temperatura normal en los seres humanos es 35 0C El trigo es un cereal La raíz cuadrada de 625 es 25 El factorial de 6 es 720 Una esfera es considerada como un sólido de revolución La naranja contiene vitamina C Cero es un número par El logaritmo de 2 es 0,3010

La propiedad fundamental de una proposición, es que ella puede ser verdadera o falsa, pero no ambas cosas a la vez. El valor de verdad de una proposición simple depende exclusivamente del enunciado de la proposición. “Dos es un número par". "Tres es mayor que cuatro". "Tres más cinco es mayor que cuatro". Es verdadero. Es Falso. Es verdadero.

Algunos enunciados o proposiciones son compuestos, es decir, están formados de proposiciones simples y de conectivos que los unen. 2 es un número entero y es positivo Si llueve, el piso se moja Si es un entero, entonces es real Si estudio y hago los ejercicios, entonces apruebo y paso de curso

COMPUESTAS, MOLECULARES O COLIGATIVAS:   Conectivos lógicos o adverbios de negación

El valor de verdad de una proposición compuesta depende completamente del valor de verdad de cada proposición simple y del modo como se les reúne o conecta para formar la proposición compuesta.

Valor de verdad de una proposición El valor de verdad de una proposición, es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente la proposición. Esta puede ser, verdadera (V ó 1) o falsa (F ó 0)

Tabla de verdad Una tabla de verdad, es la representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición. Las tablas de verdad sirven para mostrar los valores, las relaciones y los resultados posibles al realizar operaciones lógicas.

PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta. p p q p q r V V V V V V V F V V F F F V V F V 21 F F V F F F V V 22 En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2n posibilidades F V F F F V F F F 23

Construcción de tablas de verdad ¿Cuántas filas tiene la tabla? 1 proposición  2 valores (V o F) 2 proposiciones  4 valores de verdad 3 proposiciones  8 valores de verdad ......... n proposiciones  2n valores de verdad.

Letras p, q, r, s Conectores ˄, ˅, ,  Signos de agrupación Formalización Lógica Letras p, q, r, s Conectores ˄, ˅, ,  Signos de agrupación ( ), [ ], { }

Medellín es capital del departamento de Antioquia p Letras Medellín es capital del departamento de Antioquia y Bucaramanga capital de Santander Medellín es capital del departamento de Antioquia p Bucaramanga capital de Santander q

Conectores u operadores lógicos. ? Principales conectores u operadores lógicos. Negación Conjunción Disyunción (2) Condicional Bicondicional CONECTIVO SIMBOLO NOMBRE VALOR no Negación Es el más débil y Conjunción Tienen igual peso o Disyunción o……..o……... Disyunción exclusiva Si…entonces… Condicional Tiene mayor peso que las anteriores ….Si y solo si… Bicondicional Tiene mayor peso que todas

LA NEGACIÓN.- Es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no es como alguien cree o afirma. Para negar una proposición se le antecede el conectivo no, o equivalentes a él, cuyo símbolo es “” ó ¬ , y se llama negador. Ejemplo: “Todo número elevado al cuadrado es positivo” p Negación: “No todo número elevado al cuadrado es positivo” p Nota: Cuando se niega una proposición compuesta, se niega al operador de mayor jerarquía en dicha proposición. Ejemplo: No es cierto que Pablo fue al banco y retiró el dinero q r Simbología: ( q  r )

Negación Si p: El río está sucio, entonces: p: No es verdad que el río está sucio o simplemente: ~p: El río no está sucio.x La proposición p: 2 + 3 ˃ 1 es una proposición verdadera. Pero la proposición ~ p: no es verdad que 2 + 3 ˃ 1 o ~ p: 2 + 3 ˂ 1 es una proposición falsa. La negación de una proposición es una nueva proposición que tiene un valor de verdad opuesto, es decir, si p es verdadera, la negación de p es falsa. Se denota con ~ p y se lee no p.

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA NEGACIÓN p  p V F F V

Definición de Algunos Enunciados Compuestos LA CONJUNCIÓN.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ y “, cuyo símbolo es “” y se llama conjuntor. Ejemplo: “Jorge viajó a Madrid y Luis viajó a Quito” q p p : Jorge viajó a Madrid Simbología: “p  q” q : Luis viajó a Quito NOTA: También equivalen al conectivo conjunción las palabras: pero, sin embargo, aunque, además, no obstante, etc.

lluvioso y el carro es nuevo”? EJEMPLO Si sabemos que “El día está lluvioso” es una aseveración verdadera, pero que la aseveración “El carro es nuevo” es falsa, ¿cuál es el valor de verdad de la aseveración “El día está lluvioso y el carro es nuevo”? Solución Si p: “El día está lluvioso” y q: “El carro es nuevo”, entonces la proposición “El día está lluvioso y el carro es nuevo” se escribe como p ˄ q. Ahora sabemos que p es verdadero (V) y q es falso (F); basta leer la tabla de la conjunción en la línea donde p es V y q es F para tener el valor de p ˄ q, la cual es falsa.

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN p  q V V V V F F F F V La conjunción sólo es verdadera cuando las dos proposiciones son verdaderas. F F F

LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “ o “, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor. Ejemplo: “Eliana viajará a Bogotá o a Medellín” r s r : Eliana viajará a Bogotá Simbología: “r  s” s : Eliana viajará a Medellín

Si p: “El libro es nuevo”, es verdadera, en tanto que q: “El joven es inteligente”, es falsa, determine el valor de verdad de la proposición “El libro es nuevo o el joven es inteligente”. Solución La proposición “El libro es nuevo o el joven es inteligente” puede expresarse como p ˅ q. Puesto que p es V y q es F, la segunda fila de la tabla de la disyunción inclusiva muestra que el valor de verdad para p ˅ q es V.

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA p  q V V V La disyunción es falsa, sólo si ambas proposiciones son falsas V V F F V V F F F

LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “O…..o……. “, cuyo símbolo es “” y se llama disyuntor fuerte. Ejemplo: “O Ricardo radica en Bogotá o en Barrancabermeja” p q p : Ricardo radica en Bogotá Simbología: “p  q ” q : Ricardo radica en Barrancabermeja “p q ”

Si p: “Antonio va a la fiesta”, es falsa y q: “Luisa va al cine”, es verdadera, determine el valor de verdad de la proposición “O Antonio va a la fiesta o Luisa va al cine”. Solución La proposición “O Antonio va a la fiesta o Luisa va al cine” se puede expresar como p q. Puesto que p es F y q es V, la tercera fila en la tabla de la disyunción exclusiva muestra que el valor de verdad para p q es V.

TABLA DE VALORES DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA p  q La disyunción fuerte es verdadera, sólo si ambas proposiciones tienen diferentes valores de verdad V F V V V F La disyunción fuerte es falsa, sólo si ambas proposiciones tienen idénticos valores de verdad F V V F F F

EL CONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “Si…….entonces…….”, cuyo símbolo es “→” y se llama implicador. Ejemplo: “Si 12 es un número par entonces es divisible entre 2” P (antecedente) q (consecuente) p : 12 es un número par ……………….… (antecedente) q : 12 es un número divisible entre 2 ……(consecuente) Simbología: “p → q ”

Existen otras formas de presentarse el condicional: Notas: Existen otras formas de presentarse el condicional: a) Si p entonces q b) p implica q c) q si p d) p sólo si q e) p es condición suficiente para q f) q es condición necesaria para p 2. También son expresiones condicionales: q ya que p; q puesto que p; q siempre que p; q porque p; etc. Ejemplo La suma de las cifras de 426 es múltiplo de 3, por consiguiente es divisible entre 3 (antecedente) p (consecuente) q 426 es divisible entre 3 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 3 (consecuente) q (antecedente) p La simbología para ambos casos es: p → q Si construimos las tablas de verdad para p → q y la contrapositiva ∼q → ∼p, vemos que las dos tablas coinciden en las columnas finales.

Proposiciones relacionadas con la condicional p → q Variaciones de la condicional La Recíproca, es representada simbólicamente por: q → p La Inversa, es representada simbólicamente por:  p →  q La Contrarrecíproca o contrapositiva, es representada simbólicamente por:  q →  p

Si p: “3*3 = 9”, es verdadera y q: “2 es par”, es verdadera, determine el valor de verdad de la proposición “Si 3*3 = 9, entonces 2 es par”. Solución Esta proposición se puede expresar como p → q. Puesto que p es V y q es V, la primera fila en la tabla de verdad de la condicional muestra que p → q es verdadera (V).

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL CONDICIONAL p  q V V V El condicional sólo es falso, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. V F F F V V V F F Hasta aquí

Variaciones de la condicional Una proposición puede ser reemplazada por su contrarrecíproca, sin que se afecte su valor de verdad, lo cual no se cumple con la recíproca o la inversa.

Variaciones de la condicional A partir de la proposición: “Si un número es divisible para 8, entonces es divisible para 2”. La Recíproca sería: “Si un número es divisible para 2, entonces es divisible para 8”. La Inversa sería: “Si un número no es divisible para 8, entonces no es divisible para 2”. La Contrarrecíproca sería: “Si un número no es divisible para 2, entonces no es divisible para 8”.

EL BICONDICIONAL.- Es un enunciado compuesto en el que dos proposiciones se relacionan con el conectivo “…..…si y sólo si……….”, cuyo símbolo es “↔” llamado doble implicador. Ejemplo: “Baltra es una isla si y sólo si está rodeada de agua” p q p : Baltra es una isla Simbología: “p ↔ q ” q : Baltra está rodeada de agua

EJEMPLO Si p: “15 - 8 ˂ 4” es falsa y q: “3 es un número primo” es verdadera, determine el valor de verdad de la proposición “15 - 8 ˂ 4 si y sólo si 3 es un número primo”. Solución La proposición “15 - 8 ˂ 4 si y sólo si 3 es un número primo” se puede expresar como p ↔ q. Puesto que p es F y q es V, la tercera fila en la tabla de verdad de la bicondicional muestra que p ↔ q es falsa (F).

TABLA DE VALORES DE VERDAD DEL BICONDICIONAL p  q El bicondicional es verdadero, sólo si ambas proposiciones poseen idénticos valores de verdad V V V V F F El bicondicional es falso, sólo si ambas proposiciones poseen diferentes valores de verdad F F V F V F

TABLA RESUMEN ~ Conector Valor de verdad Condición « V D ® F Ú Ù Si ambos tienen igual valor de verdad. D Si tienen valores diferentes de verdad. ® F Si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso Ú Si ambos son falsos Ù Si ambos son verdaderos ~ Si la proposición es falsa.

Ejemplo Si llegas después de las ocho y media, entonces encontrarás la puerta cerrada y no podrás entrar al teatro. p  (q^r)

Bicondicional Se llama bicondicional de dos proposiciones p y q a la proposición “p si y sólo si q” representada por “p  q” Ejemplo : p : “ Juan ingresa a la universidad” q : “Juan estudia mucho” Entonces: p q : “Juan ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho” TABLA DE VERDAD “pq es verdadera si p y q son ambas verdaderas o ambas falsas” p q pq V V V F F V F F   V F V

EJERCICIOS

Negación Dada una proposición p, se llama negación de p a la proposición “no p” que se representa por p Ejemplo : Dado p : “el hombre es mortal” Podemos decir: p: “no es cierto que el hombre es mortal” Lo que equivale a decir : p : “el hombre no es mortal” TABLA DE VERDAD “Si p es verdadera  p es falsa; si p es falsa , p es verdadera” p    p V F

Conjunción Dadas las proposiciones p y q , se llama conjunción de p y q a la proposicion “p y q” representada por p  q Ejemplo : Si p : “2 es mayor que 5” y q : “todo número impar es primo”, Entonces: p  q : “2 es mayor que 5 y todo número impar es primo” TABLA DE VERDAD “p  q es verdadera si p y q son verdaderas simultáneamente” p q   p  q V V V F F V F F   V F

Disyunción Dadas las proposiciones p y q , se llama disyunción de p y q a la proposición “p o q” que se representa por p  q. Ejemplo : Si p : “hace frío en invierno” y q : “Napoleón invadió Rusia” Entonces : p  q : “Hace frío en invierno o Napoleón invadió Rusia” TABLA DE VERDAD “p  q es verdadera si p es verdadera o q es verdadera” p q   p  q V V V F F V F F   V V F

Condicional Se llama condicional de p y q a la proposición “si p entonces q” y se representa por “p  q “ , p se llama antecedente y q consecuente del condicional p  q Ejemplo: Si p : “2 es número primo” y q : “5 es menor que 4” Entonces: p  q: “si 2 es número primo entonces 5 es menor que 4” TABLA DE VERDAD p  q es verdadera si p es falsa o q es verdadera “ p q pq V V V F F V F F   V F V

Condicional o Implicación Se lee: Si P entonces Q P implica Q P es suficiente para Q P sólo si Q Q si P Q siempre que P Q es necesario para P

EVALUACIÓN de una FORMULA LOGICA

La característica tabular de una fórmula lógica es la columna de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía. Esta columna puede presentar los siguientes casos: Cuando todos los valores de verdad son verdaderos, el esquema es una TAUTOLOGÍA. Cuando todos los valores de verdad son falsos, el esquema es una CONTRADICCIÓN. Cuando algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos el esquema es una CONTINGENCIA.

PRACTICA

EVALUACIÓN DE UNA FÓRMULA LÓGICA Evaluar el siguiente esquema molecular: (p  q)  (p  r) Solución p q r ( p  q )   ( p   r) V V V V V V V F V V F V V F V V V F V V V V V F V V F F V V V F F V F F V F F F F V V V F F F F F V V V V F F F V F F F V F F F V V F F V F F F F F F V F F V F F F F F F F F V

EJERCICIO de PRACTICA Si se conoce que: (q  r)  p es FALSA Determinar el valor de verdad de: (r  p)  (p  r) SOLUCIÓN ( q   r )  p F Primero analizamos la condición V V V F F Luego de conocer los valores de verdad de cada variable, se evalúa la fórmula planteada (  r   p )  ( p   r ) F V V V F F V El valor de verdad de la fórmula planteada es FALSO

PAUSA

Expresión en el lenguaje natural Ejemplo Símbolo para el curso no No está lloviendo. ~p Y , ni, pero, que Está lloviendo y está nublado. ^ o Está lloviendo o está soleado. v si... Entonces, …luego.. Si está soleado, entonces es de día.  si y sólo si Está nublado si y sólo si hay nubes visibles.  ni... ni Ni está soleado ni está nublado. ↓ o bien... o bien O bien está soleado, o bien está nublado. ≠