Teorema de Stokes John Jairo Liñán Caro
Introducción El teorema de Stokes puede considerarse como una versión del teorema de Green para una dimensión más alta. El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera de S ( que es una curva en el espacio ). La orientación de S induce la orientación positiva de la curva frontera C. Esto significa que si uno camina alrededor de C en sentido positivo entonces la superficie siempre estará a la izquierda de uno.
Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, que está acotada por una curva frontera C suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en IR3 que contiene a S. Entonces la circulación del campo F alrededor de la frontera C, está dada por
Ejemplo 1 Calcular donde C es la curva intersección de Solución: De acuerdo con el teorema de Stokes , Calculemos el rotacional de F:
z y Curva C x
Ejemplo 1 Tomando S como la parte del plano z = y=g(x,y) acotada por C, entonces :
Ejemplo 1 Ejemplo 2 Calcular y C es la curva de intersección de orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj.
z Curva C y x
Ejemplo 2 Solución. La curva intersección está en el plano z=1 . Si tomamos S como la parte del plano dentro de C, entonces Calculemos el rotacional de F
Ejemplo 2 Tomando n = K, resulta
Ejemplo 3 Calcular y C es la frontera de la porción del plano 2x + y + z = 2, en el primer octante, recorrida en el sentido antihorario.
z Porción del plano 2x + y + z = 2 C2 C3 y C1 x Curva C fomada por C1,C2,C3
Ejemplo 3 Podemos ver el plano 2x + y + z = 2, como la superficie z= f(x,y) = 2 – 2x –y Luego, fx = -2 , fy = -1. Así: claro que Por otra parte, el rotacional de F, está dado por:
Ejemplo 3 Pero, como sobre el plano z = 2 – 2x – y, se tiene que: de esta manera,
Ejemplo 3 Por lo tanto, utilizando el teorema de Stokes, tenemos