Las civilizaciones de las que se ha estado hablando a lo largo de este capítulo se desarrollaron a orillas de ríos tan importantes como el Tigris y el Éufrates, el Nilo y el Huang-Ho. Esta Abundancia de agua y de limo dio origen a que, mediante diversas técnicas de cultivo, la agricultura fuera la base de sus sustento.

Pero, para aplicar las técnicas de cultivo, se necesitó la organización de pueblos enteros y la imposición de tributos para pagar los proyectos de siembra y cosecha. Esto no se hubiera logrado sin un sistema de escritura y de numeración con el que se pudieran registrar y controlar estos impuestos.

Se requirió de material de escritura para registrar los títulos de propiedad de las tierras; así como de un sistema de medidas para contabilizar el trabajo agrícola (contar el grano de una cosecha, la extensión de la tierra, la cantidad de agua, el tiempo de trabajo mediante calendarios y aun relojes de arena, etc.)

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras).

La serie de números naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna. Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para cada civilización.

ANTIGUA CIVILIZACIÓN EGIPCIA. La civilización desarrollada a lo largo del Nilo es considerada la primera civilización que alcanzó un cierto desarrollo matemático. Papiro de Rhind

Los egipcios desarrollaron las matemáticas y la geometría; construyeron un sistema decimal, aunque no llegaron a utilizar el cero.

Tenían fórmulas para medir las superficies del círculo, triángulo y cuadrado; además, podrían calcular el volumen de la esfera y el cilindro. Si te dicen ¿Cuál es el área de un triángulo truncado de tierra de 20 khet en su altura, 6 khet en su base, 4 khet en su línea truncada?.  La forma de cálculo coincide plenamente con la actual: Añadir su base a su línea truncada, hace 10. Tomar la mitad de 10, es decir, 5 para (un lado de) su rectángulo. Multiplicar 20 veces 5, hace 100. Este es el área.

En aritmética, los egipcios dominaban las cuatro operaciones elementales: suma, resta, división y multiplicación.

Con estos conocimientos floreció la navegación, la agricultura y sobre todo el comercio.

MESOPOTAMIA O ANTIGUA BABILONIA. Actualmente la información sobre esta civilización (en cuanto a matemáticas se refiere) es mucho mayor que la existente sobre la civilización egipcia, debido a que en lugar de papiros, utilizaban escritura cuneiforme sobre tablillas de arcilla, mucho más resistentes al paso del tiempo. MESOPOTAMIA O ANTIGUA BABILONIA. Tablillas de arcilla

De las más de 100.000 tablillas conservadas, sólo 250 tienen contenidos matemáticos y de ellas apenas 50 tienen texto. Al igual que sucede con los papiros, las tablillas contienen únicamente problemas concretos y casos especiales, sin ningún tipo de formulación general, lo que no quiere decir que no existiera, pues es evidente, que tales colecciones de problemas no pudieron deberse al azar.

Tablilla con 17 problemas matemáticos Su sistema de medidas se basó en la pulgada lineal y en la cuadrada. Fueron grandes estudiosos de la geometría y las matemáticas (dividieron el círculo en 360 grados), y su influencia científica llegó hasta Grecia, Egipto e incluso el Mediterráneo occidental. Tablilla con 17 problemas matemáticos

Utilizaron el sistema de numeración posicional sexagesimal, carente de cero y en el que un mismo símbolo podía representar indistintamente varios números que se diferenciaban por el enunciado del problema.

Tablilla Plimpton con las ternas pitagóricas Desarrollaron un eficaz sistema de notación fraccionario, que permitió establecer aproximaciones decimales verdaderamente sorprendentes. Esta evolución y simplificación del método fraccionario permitió el desarrollo de nuevos algoritmos que se atribuyeron a matemáticos de épocas posteriores, baste como ejemplo el algoritmo de Newton para la aproximación de raíces cuadradas. Tablilla Plimpton con las ternas pitagóricas

Desarrollaron el concepto de número inverso, lo que simplificó notablemente la operación de la división. Encontramos también en esta época los primeros sistemas de ecuaciones. Efectuaron un sin fin de tabulaciones que utilizaron para facilitar el cálculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cúbicas.

INDIA ANTIGUA. Los primeros indicios matemáticos se calculan hacia los siglos VIII-VII a.C, centrándose en aplicaciones geométricas para la construcción de edificios religiosos y también parece evidente que desde tiempos remotos utilizaron un sistema de numeración posicional y decimal.

Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d Fue, sin embargo, entre los siglos V-XII d.C cuando la contribución a la evolución de las matemáticas se hizo especialmente interesante, destacando cuatro nombres propios: Aryabhata (s.VI), Brahmagupta (s.VI), Mahavira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XII). La característica principal del desarrollo matemático en esta cultura, es el predominio de las reglas aritméticas de cálculo, destacando la correcta utilización de los números negativos y la introducción del cero, llegando incluso a aceptar como números validos las números irracionales. Aryabhata

Profundizaron en la obtención de reglas de resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en las cuales las raíces negativas eran interpretadas como deudas. Desarrollaron también, sin duda para resolver problemas astronómicos, métodos de resolución de ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear y resolver (s.XII) la ecuación x2=1+ay2, denominada ecuación de Pelt. Métodos de multiplicación: gelosia, celdilla o cuadrilátero.

Como resumen acabaremos diciendo que en la historia de la India se encuentran suficientes hechos que ponen en evidencia la existencia de relaciones políticas y económicas con los estados griegos, egipcios, árabes y con China. Matemáticamente se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo.

Chou Pei CHINA ANTIGUA. La primera obra matemática es "probablemente" el Chou Pei (horas solares) ¿1200 a.C.? y junto a ella la más importante es "La matemática de los nueve libros" o de los nueve capítulos.

Esta obra, de carácter totalmente heterogéneo, tiene la forma de pergaminos independientes y están dedicados a diferentes temas de carácter eminentemente práctico formulados en 246 problemas concretos. Los problemas resumen un compendio de cuestiones sobre agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos.

El sistema de numeración es el decimal jeroglífico El sistema de numeración es el decimal jeroglífico. Las reglas de las operaciones son las habituales, aunque destaca como singularidad, que en la división de fracciones se exige la previa reducción de éstas a común denominador. Dieron por sentado la existencia de números negativos, aunque nunca los aceptaron como solución a una ecuación. La contribución algebraica más importante es, sin duda, el perfeccionamiento alcanzado en la regla de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Para todos los sistemas se establece un método genérico de resolución muy similar al que hoy conocemos como método de Gauss, expresando incluso los coeficientes en forma matricial, transformándolos en ceros de manera escalonada. Inventaron el "tablero de cálculo", consistente en una colección de palillos de bambú de dos colores (un color para expresar los números positivos y otro para los negativos) y que podría ser considerado como una especie de ábaco primitivo.

Esta orientación algorítmica de las matemáticas en la China Antigua, se mantiene hasta mediados del siglo XIV debido fundamentalmente a las condiciones socio-económicas de esta sociedad. Con el desarrollo del "método del elemento celeste" se culminó el desarrollo del álgebra en China en la edad media. Este método, desarrollado por Chou Shi Hié, permitía encontrar raíces no sólo enteras, sino también racionales, e incluso aproximaciones decimales para ecuaciones.

Triángulo de Tartaglia El método del elemento celeste es equivalente al que en Occidente denominamos "método de Horner", matemático que vivió medio siglo más tarde. Otro gran logro de la época medieval fue la suma de progresiones desarrollado por Chon Huo (s. XI) y Yang Hui (s.XIII). Unido a estas sumas de progresiones se establecieron elementos sólidos en la rama de la combinatoria, construyendo el llamado "espejo precioso" de manera similar al que hoy conocemos como triángulo de Tartaglia o Pascal. Triángulo de Tartaglia

No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de la cultura china, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. Aproximadamente a mediados del siglo XIV comenzó en China un largo periodo de estancamiento.