TEMA: LOGICA PROPOSICIONAL Y EL LENGUAJE SIMBOLICO Mg. Alex Alarcón Mondragón

CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS: Los conectivos lógicos son símbolos que enlazan proposiciones simples o atómicas, sin formar parte de ellas: estos símbolos también toman el nombre de operadores. Los conectivos lógicos que usamos en matemática son:

OPERACIONES CON PROPOSICIONES: Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones. LA NEGACION: La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p. Ejemplo: Sea la proposición: p: 4 x 5 = 20 (V) Su negación es: ~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20 (F) o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 ≠ 20 (F) Simbólicamente: V( ~ p) = F

Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p ˄q” y se lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso. LA CONJUNCIÓN Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 7 es un número par (F) q: 7 es menor que 5 (F) p  q: 7 es un número par y 7 es menor que 5 (F) Simbólicamente: V(p  q) = F NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo ”  “

LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p  q” y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás casos siempre es verdadero. Ejemplo: Dadas las proposiciones: p: 4 < 7 (V) q: 4 = 7 (F) p  q: 4 < 7 ó 4 = 7 (V) Simbólicamente: V(p  q) = V

LA CONDICIONAL Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p  q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero y el segundo es falso, en los demás casos siempre es verdadero.( p = antecedente y q = consecuente) Ejemplo: p  q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 3 es un número primo (V) q: 31 es un número par (F) p  q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número par (F) Simbólicamente: V(p  q) = F

NOTA: En toda proposición las palabras: “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos esta el antecedente Ejemplo: No jugué porque llegué tarde p: no jugué (consecuente) q: llegué tarde (antecedente) Simbólicamente: q  p

LA BICONDICIONAL Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p  q” y se lee “p si y solo si q”, es verdadero cuando los valores de verdad son iguales y es falso cuando los dos valores de verdad son diferentes. Ejemplo: Sean las proposiciones: p: "La Tierra es cúbica" (F) q: "El Sol es un planeta" (F) p  q: "La Tierra es cúbica" si y solamente si "El Sol es un planeta" (V) Simbólicamente: V(p  q) = V

Dadas las proposiciones p, q se escribe “p ∆ q” y se lee “o bien p o bien q”, es falso si los valores de verdad de las proposiciones son iguales y es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones son diferentes. LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 4 > 7 (F) q: 4 < 7 (V) p  q: o bien 4 > 7 o bien < 7 (V) Simbólicamente: V(p  q) = V

1) Expresa en el lenguaje simbólico: a) No es cierto que, Ollanta Humala no es el presidente de Ecuador. b) Es falso que, Mayumi llegó tarde porque se quedó dormida. c) Paolo Guerrero llego tarde al partido pero jugó. d) Si hoy es miércoles entonces mañana no es martes 2 ) Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a) Es falso que, Paolo Guerrero no es jugador del Sport Club Corinthians Paulista. b) 20 es múltiplo de 4, pero, 7 es menor o igual que 10 c) O 9 es mayor que 5 o es menor que 5. d) 24 es múltiplo de 8 puesto que 24 es un número impar. e) La selección de fútbol del Perú no se clasificó al mundial de Rusia f) No es cierto que, Martin Vizcarra disolvió el congreso. RESUELVE LA SIGUIENTE PRACTICA

3) Si: ~(~p  q)  (r  q)   (~p  q)  (q  ~ p), es verdadera. Calcula los valores de verdad de p, q y r. 4) Si: (p  ~q)  (~r  ~s), es falsa. Determina los valores de verdad de los esquemas moleculares: a)~(p  ~q)  r b) (~p q)  (p  ~q) 5) Sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta: {~(p  r)  q  (p  q)  s}  (s  p)  t, es siempre falsa. Determina el valor de verdad de la proposición ~(p  ~q)  (r  ~s)  (t  ~p)

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