Geometría Analítica Plana Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta Ecuación de la circunferencia Transformación de coordenadas La parábola La elipse La hipérbola
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Introducción Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria Forma general de la ecuación de la circunferencia Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas Familias de circunferencias Eje radical Tangente a una curva Tangente a una circunferencia Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Introducción
Las secciones cónicas Un cono circular recto se genera por una recta que pasa por un punto fijo de una recta también fija, formando con ésta un ángulo constante. Al punto fijo se le llama vértice y a cualquier posición de la recta generatriz es denominado elemento. El vértice divide al cono en dos partes llamadas mantos. Manto Vértice Manto
La sección cónica o simplemente cónica, es el lugar geométrico o curva que se obtiene por la intersección de un cono circular recto con un plano. Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola
Las secciones cónicas
Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria
Definición de la circunferencia La circunferencia es el lugar geométrico del plano descrito por un punto que se mueve a una distancia constante de un punto fijo. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.
Ecuación de un lugar geométrico Una curva es el lugar geométrico de todos aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones geométricas dada.
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico 1. Se supone que el punto P, de coordenadas (x, y), es un punto cualquiera que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del lugar geométrico.
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico 2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x e y.
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico 3. Se simplifica, si hace falta, la ecuación obtenida en el paso anterior (2) de tal manera que tome la forma f(x,y)=0
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico 4. Se comprueba el reciproco: sean (x1, y1) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen f(x.y)=0 de tal manera que: f(x1 ,y1 )=0
Pasos para obtener la ecuación de un lugar geométrico
Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia
Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Ejemplo
Circunferencia con centro en el origen
Circunferencia con centro en el origen
Circunferencia con centro en el origen
Forma general de la ecuación de la circunferencia Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Forma general de la ecuación de la circunferencia
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Forma general de la ecuación de la circunferencia
Forma general de la ecuación de la circunferencia. Ejemplo
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones
Familias de circunferencias Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Intersección de dos circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Intersección de dos circunferencias
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Recta de los centros
Recta de los centros
Recta de los centros
Familias de circunferencias
Recta de los centros
Familias de circunferencias
Familias de circunferencias
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Eje radical
Eje radical
Eje radical
x P1 P2 y Eje Radical Recta de los centros
Recta de los centros Eje Radical x y
x y Eje Radical Recta de los centros
Eje radical x y Eje Radical Recta de los centros
Eje radical x y Eje Radical Recta de los centros
Eje radical
Eje radical
Eje radical
Eje radical
Eje radical
Centro radical
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva Ilustración y repetición de todo lo anterior con una animación de Maple
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Tangente a una curva
Ángulo entre dos curvas
Ángulo entre dos curvas
Ángulo entre dos curvas
Ángulo entre dos curvas
Tangente a una circunferencia Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Tangente a una circunferencia
Tangente a una circunferencia
Tangente a una curva
Tangente a una circunferencia
Tangente a una circunferencia
Tangente a una circunferencia
Tangente a una circunferencia. Ejemplo
Geometría Analítica Plana Ecuación de la circunferencia Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia
Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico Geometría Analítica Plana Sistemas de coordenadas Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia
Fin
Eje radical. El eje radical de 2 circunferencias cualesquiera es perpendicular a la recta de sus centros. Recta de los centros Eje Radical x y Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, tenemos lo que discutimos en 6, el eje radical pasa por estos 2 puntos y, por tanto coincide con su cuerda común x P1 P2 y Eje Radical Recta de los centros Si C1 y C2 son tangentes entre sí, su eje radical es la tangente común a ambas circunferencias.
La recta de los centros es: Eje radical. El eje radical de 2 circunferencias cualesquiera es perpendicular a la recta de sus centros. x y Eje Radical Recta de los centros El eje radical no tiene ningún punto común con ninguna de las 2 circunferencias. La recta de los centros es: La pendiente del eje radical es: La pendiente de la recta de los centros:
Ejemplo: Hallar la ec. del eje radical de las circunferencias Y demostrar que es perpendicular a la recta de sus centros. Solución: Si multiplicamos a la 2ª. ec. por -2 y la restamos de la ec. 1 tenemos la siguiente ec. 26x + 18y - 77 = 0 ec. del eje radical. La pendiente de la ec. del eje radical es: Las coordenadas de los centros son: La pendiente de las coordenadas de los centros es: Por lo tanto el eje radical es perpendicular a la recta de los centros ya que tienen sus pendientes inversas y de signo contrario.
Para encontrar una propiedad importante del eje radical tomemos la siguiente figura: y x x´ y´ C ( h, k ) T . P1 (x1, y1) t r
Sección en desarrollo. Esta incompleta y las transparencias están ocultas
x
x P1 P2 y
Familia de circunferencias las cuales tienen centros en la recta de los centros C1 y C2. 1.- Si C1 y C2 se cortan en 2 puntos diferentes , la ec. representa para todos los valores de k≠-1, todas las circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y C2 , con la única excepción de C2 misma . 2.- Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos los valores de k ≠-1, todas las circunferencias que son tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única excepción de C2 misma. 3.- Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa una circunferencia para cada valor de k≠ -1 siempre que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan que las condiciones especificadas: Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto común con ninguna de las 2 circunferencias C1 y C2 .
Familia de circunferencias las cuales tienen centros en la recta de los centros C1 y C2. 1.- Si C1 y C2 se cortan en 2 puntos diferentes , la ec. representa para todos los valores de k≠-1, todas las circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y C2 , con la única excepción de C2 misma . 2.- Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos los valores de k ≠-1, todas las circunferencias que son tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única excepción de C2 misma. 3.- Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa una circunferencia para cada valor de k≠ -1 siempre que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan que las condiciones especificadas: Ningún par de circunferencias de la familia tiene un punto común con ninguna de las 2 circunferencias C1 y C2 .
Fin de la sección en desarrollo Fin de la sección en desarrollo. Esta incompleta y las transparencias están ocultas
Ecuación de la tangente a C: Ecuación de la normal a C: Tangente a una curva. La tangente se define como una recta que tiene un solo punto común con la curva. l´ C Y Y´ X X´ T Q M P1 (x1, y1) Si m es la pendiente de la tangente a una curva plana continua C en el punto P1(x1, y1) , tenemos las siguientes ecuaciones y fórmulas: Ecuación de la tangente a C: Ecuación de la normal a C: Longitud de la tangente:
Longitud de la normal Longitud de la subtangente: Longitud de la subnormal. Si tenemos 2 circunferencias C y C´ , se llama ángulo de dos curvas en uno de sus puntos de intersección, a cualquiera de los 2 ángulos suplementarios formados por las dos tangentes a las curvas en dicho punto. Si mm´ = - 1 , es decir ambos ángulos son rectos, entonces se dice que las curvas son ortogonales entre sí.
Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones Analíticamente la ecuación de una circunferencia queda determinada completamente por tres condiciones independientes, D, E, F y puede escribirse de la forma canónica o bien general. Geométricamente una circunferencia queda, también, perfectamente determinada por tres condiciones independientes, Entonces, se puede obtener la ec., de una circunferencia si se conoce: Tres puntos de la misma. El centro y el radio. Un punto y el centro El centro y una recta tangente.
La ec. de la tangente a una circunferencia dada está perfectamente determinada cuando se conocen su pendiente y su punto de contacto ( o algún otro de sus puntos ). Si se tiene uno de estos datos, el otro debe determinarse a partir de las condiciones del problema. Se pueden considerar tres casos: Tangente a una circunferencia dada en un punto dado de contacto. Tangente a una circunferencia dada que tiene una pendiente dada. Tangente a una circunferencia dada que pasa por un punto exterior dado.