Instituto Latinoamericano Clase extraordinaria Cálculo Diferencial
Resolución de límites: Caso A. lim 𝑥→0 (𝑥−3) 2 −9 𝑥 A primera vista la función se indetermina al sustituir el valor de “equis” 𝑥→0 en el denominador, al no existir la división entre cero. (𝑥−3) 2 −9 𝑥 Pero haremos trabajo algebraico para resolver esta Función: Desarrollamos el binomio cuadrado perfecto (El primero al cuadrado, el primero por el segundo por dos, el segundo al cuadrado) 2) Restamos 9 – 9 3) “Arriba” en el numerador, factorizamos x. 4) “Equis” arriba y “Equis” abajo, se anulan. 5) Sustituimos el valor de x en (x – 6) = 0 – 6 = 6 𝑥 2 −6𝑥+9−9 𝑥 𝑥 2 −6𝑥+9−9 𝑥 𝑥 2 −6𝑥 𝑥 Como los dos tienen x, “sacamos” la equis. x2 tenía dos, sacamos una, le “queda” una. 6x tenía una equis, pero al sacar una se queda “sin” equis. 𝑥(𝑥−6) 𝑥 𝑥(𝑥−6) 𝑥 (x – 6) El resultado del límite es 6
Ejemplo 2: Caso A. lim 𝑥→0 (𝑥−2) 2 −4 𝑥 A primera vista la función se indetermina al sustituir el valor de “equis” 𝑥→0 en el denominador, al no existir la división entre cero. (𝑥−2) 2 −4 𝑥 Pero haremos trabajo algebraico para resolver esta Función: Desarrollamos el binomio cuadrado perfecto (El primero al cuadrado, el primero por el segundo por dos, el segundo al cuadrado) 2) Restamos 4 – 4 3) “Arriba” en el numerador, factorizamos x. 4) “Equis” arriba y “Equis” abajo, se anulan. 5) Sustituimos el valor de x en (x – 4) = 0 – 4 = 4 𝑥 2 −4𝑥+4−4 𝑥 𝑥 2 −4𝑥+4−4 𝑥 𝑥 2 −4𝑥 𝑥 Como los dos tienen x, “sacamos” la equis. x2 tenía dos, sacamos una, le “queda” una. 4x tenía una equis, pero al sacar una se queda “sin” equis. 𝑥(𝑥−4) 𝑥 𝑥(𝑥−4) 𝑥 (x – 4) El resultado del límite es 4
Resuelve en tu cuaderno, fotografía y envía… lim 𝑥→0 (𝑥−1) 2 −1 𝑥 lim 𝑥→0 (𝑥−4) 2 −16 𝑥
Resolución de límites: lim 𝑥→2 𝑥−1 −1 𝑥−2 Al sustituir el valor de “equis” en el denominador, la función se indetermina. Desarrollamos algebraicamente. Caso B. Es el mismo elemento 𝑥−1 −1, pero con signo contrario. Multiplicamos por el recíproco de la raíz. Al tener el mismo número arriba y abajo es como si multiplicáramos por “uno”. 𝑥−1 −1 𝑥−2 ∗ 𝑥−1 +1 𝑥−1 +1 𝑥−1 −1 𝑥−1 +1 = 𝑥−1 2 − 1 2 Arriba tenemos un binomio conjugado, son los mismos números, pero en un factor se suman y en el otro factor se restan. 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑥−1 2 − 1 2 (𝑥−2) 𝑥−1 +1 Arriba, la raíz y el exponente se anulan y 12 = 1 𝑥−1−1 (𝑥−2) 𝑥−1 +1 Abajo se reescribe lo mismo Arriba 𝑥−2 (𝑥−2) 𝑥−1 +1 (x – 2) Arriba y abajo, se anulan 𝑥−2 (𝑥−2) 𝑥−1 +1 𝑥−1 +1 𝑥− 1 − 1 = x−2 El resultado del límites es 2 Sustituimos el valor de x en 𝑥−1 +1 2−1 +1 1 +1 1+1=2
Resolución de límites: lim 𝑥→8 𝑥−4 −2 𝑥−8 Al sustituir el valor de “equis” en el denominador, la función se indetermina. Desarrollamos algebraicamente. Caso B. Es el mismo elemento 𝑥−4 −2, pero con signo contrario. Multiplicamos por el recíproco de la raíz. Al tener el mismo número arriba y abajo es como si multiplicáramos por “uno”. 𝑥−4 −2 𝑥−8 ∗ 𝑥−4 +2 𝑥−4 +2 𝑥−4 −2 𝑥−4 +2 = 𝑥−4 2 − 2 2 Arriba tenemos un binomio conjugado, son los mismos números, pero en un factor se suman y en el otro factor se restan. 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑥−4 2 − 2 2 (𝑥−8) 𝑥−4 +2 Arriba, la raíz y el exponente se anulan y 22 = 4 𝑥−4−4 (𝑥−8) 𝑥−4 +2 Abajo se reescribe lo mismo Arriba 𝑥−8 (𝑥−8) 𝑥−4 +2 (x – 8) Arriba y abajo, se anulan 𝑥−8 (𝑥−8) 𝑥−4 +2 𝑥−4 +2 𝑥−4 −4 = x−8 El resultado del límites es 4 Sustituimos el valor de x en 𝑥−4 +2 8−4 +2 4 +2 2+2=4
Resuelve en tu cuaderno, fotografía y envía… lim 𝑥→18 𝑥−9 −3 𝑥−18 lim 𝑥→32 𝑥−16 −4 𝑥−32