Torsión

Deformaciones en un árbol circular Un momento de torsión o par torsor es aquel que tiende a hacer girar un miembro respecto a su eje longitudinal.

Deformación de un eje circular Si se aplica un par de torsión T al extremo del eje, este se torcerá formando un ángulo de giro. Nos muestra la relación que existe especifica que existe entre el ángulo, la longitud y el par de torsión

Comparación de la deformación de un eje circular y uno cuadrado Todas sus secciones planas permanecen y sin distorsión En un eje cuadrado al aplicarse torsión sus secciones planas se distorsionan

DEDUCCION DE LAS FORMULAS DE TORSION Si el ángulo  es muy pequeño, se puede establecer: Donde AA’ es el arco que recorre el punto A al deformarse la barra debido a torsión,θ es el ángulo de giro (en radianes) entre dos secciones transversales separadas una longitud L, ρ es el radio de la porción cilíndrica considerada y  es la deformación cortante, en radianes.

Ley de Hooke para Torsión De forma similar al caso de esfuerzos normales, existe también una relación proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el rango elástico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones. Matemáticamente, podemos expresar dicha relación como sigue: Donde “  ”  es el esfuerzo cortante, “  ” es la deformación cortante y “G” es el módulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de elasticidad (“E”) de la siguiente forma: Siendo “ ” el módulo de Poisson.

Para realizar la deducción de una expresión que nos permita hallar la distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal debido a un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente: - Las secciones circulares permanecen como tales. - Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse. - Las líneas radiales permanecen rectas aún después de la deformación. - El eje está sometido a la acción de pares torsores. - Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material. Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

Si recordamos la relación de deformación establecida anteriormente: Notaremos que para una deformación dada, los valores de “  ” y “L” se mantienen constates, de forma que “  ” varía linealmente con “  ”. Podemos establecer entonces el valor máximo de la deformación “  ” : Luego: Y, finalmente:

Recordando que la deformación se realiza en el rango elástico del material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresión y nos queda: Aplicar la primera condición de equilibrio nos aportará una información que ya conocemos: la variación del esfuerzo cortante es lineal respecto al radio de la sección. Estudiaremos entonces que sucede con la segunda condición de equilibrio: Sacando de la integral los términos constantes, nos queda:

Donde la integral resultante es una propiedad de área conocida como momento polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces la expresión de la forma: Recordando que anteriormente se estableció que: Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda: Para un árbol circular hueco el momento polar de inercia J es:

Finalmente, obtenemos lo siguiente:

De forma similar al caso de carga axial, podemos utilizar expresiones referidas a estas deformaciones para resolver casos estáticamente indeterminados. Nos interesa entonces determinar una expresión que relacione el par torsor “T” con el ángulo de giro entre secciones transversales “  ”. Ejes estáticamente indeterminados Como observamos anteriormente, un par torsor ejercido sobre una barra produce una rotación relativa entre secciones transversales que se encuentren separadas por una longitud “L”.

Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer lugar, encontramos que podemos relacionar el ángulo “  ” con la deformación cortante “  ” mediante la expresión: En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke: Finalmente, la ecuación que relaciona el par torsor con el esfuerzo cortante, determinada recientemente:

Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de “  ” y “  ” en la ley de Hooke, obtendremos: Finalmente, para barras de sección circular: Esta ecuación resulta de gran utilidad en casos donde las condiciones de estática resultan insuficientes para determinar las cargas en distintos elementos de un sistema sometido a pares de torsión.

Observemos el caso mostrado en la figura. En ella se presentan dos barras solidarias, de sección transversal circular, empotradas en sus extremos y sometidas a un par torsor “T” en su unión. La condición de equilibrio que puede establecerse es la siguiente: Notemos que tenemos una ecuación y dos incógnitas (“T A ” y “T C ”). Un segunda relación se obtiene de las deformaciones debido a los pares torsores. Para poder establecer esta relación, es necesario primero definir los pares torsores al que están sometidos los segmentos “AB” y “BC”.

En primer lugar, estudiemos el tramo AB. El torsor aplicado sobre este segmento se define realizando un corte en la estructura justo antes del punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda entonces: Luego, aplicamos un procedimiento similar para el siguiente tramo. Al realizar un corte justo antes del punto de aplicación del siguiente torsor, obtenemos:

Resumen de ecuaciones Ley de Hooke para torsión:  : Esfuerzo cortante G: Módulo de Rigidez  : Deformación angular unitaria E: Módulo de elasticidad del material : Relación de Poisson del material

Esfuerzo cortante en barras de sección circular debido a momento torsor  : Esfuerzo cortante en el punto de interés de la sección transversal  : distancia medida desde el centro hasta el punto de interés J: Momento polar de inercia de la sección transversal

Ángulo de giro en barras circulares sometidas a momento torsor  : Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A” T: Par torsor al que está sometido la barra circular J: Momento polar de inercia de la sección transversal G: Módulo de rigidez del material L AB : Longitud de la barra entre las secciones “A” y “B”

EJERCICIOS