TEMA VII

ESQUEMA GENERAL Definición general Clasificación Diseño factorial A x B, completamente al azar Representación de los efectos factoriales Modelo estructural, análisis y componentes de variación DISEÑO FACTORIAL

Concepto El diseño factorial, como estructura de investigación, es la combinación de dos o más diseños simples (o unifactoriales); es decir, el diseño factorial requiere la manipulación simultánea de dos o más variables independientes (llamados factores), en un mismo experimento. ..//..

En función de la cantidad de factores o variables de tratamiento, los formatos factoriales se denominan, también, diseños de tratamientos x tratamientos, tratamientos x tratamientos x tratamientos, etc, y se simbolizan por AxB, AxBxC, etc.

Criterios de clasificación Por la cantidad de niveles Criterios Cantidad de combinaciones Tipo de control

Clasificación del diseño factorial por criterio A) Según la cantidad de niveles o valores por factor, el diseño factorial se clasifica en: Cantidad constante Cantidad de valores Cantidad variable

La notación del diseño es más sencilla cuando la cantidad de niveles por factor es igual (es decir, constante). Así, el diseño factorial de dos factores a dos niveles se representa por 2², el de tres factores por 23, etc. En términos generales, los diseños a dos niveles y con k factores se representan por 2k; a tres niveles, por 3k; a cuatro niveles por 4k, etc. ..//..

Cuando los factores actúan a más de dos niveles (es decir, cuando la cantidad de valores por factor es variable), el diseño se representa por 2 x 3, 2 x 3 x 4, etc. A su vez, cabe considerar la posibilidad de que, tanto en un caso como en otro, el diseño sea balanceado (proporcionado) o no balanceado (no proporcionado); es decir, diseños con igual cantidad de sujetos por casilla y diseños con desigual cantidad de sujetos por casilla.

B) El segundo criterio hace hincapié en la cantidad de combinaciones de tratamiento realizadas o ejecutadas. Con base a este criterio, el diseño factorial se clasifican en: Diseño factorial completo Cantidad de combinaciones de tratamiento Diseño factorial incompleto y fraccionado

Si el diseño factorial es completo, se realizan todas las posibles combinaciones entre los valores de las variables. Así, cada combinación de tratamientos determina un grupo experimental (grupo de tratamiento o casilla). Por ejemplo, el diseño factorial completo 2x2 determina cuatro grupos de tratamiento; un diseño 3x3 nueve grupos, etc. ..//..

Asumiendo que sólo se ejecute una parte del total de las combinaciones, el diseño factorial es incompleto o fraccionado, según el procedimiento seguido.

C) En función del control de variables extrañas. Diseño factorial completamente al azar Diseño factorial de bloques aleatorizados Diseño factorial de Cuadrado Grado de control Latino Diseño factorial jerárquico o anidado Diseño factorial de medidas repetidas

Según el control de los factores extraños y la reducción de la variancia del error, el diseño factorial puede ser, en primer lugar, completamente al azar; es decir, aquel formato donde sólo se aplica el azar como técnica de control y donde los grupos se forman mediante la asignación aleatoria de los sujetos. ..//..

En segundo lugar, el diseño factorial de bloques aleatorizados permite el control de una variable extraña. Según esa estrategia, cada bloque es un réplica completa del experimento, y los grupos intra bloque (dentro de cada bloque) se forman al azar. ..//..

Siguiendo con el criterio de bloques, el diseño factorial de Cuadrado Latino o de doble sistema de bloques controla dos fuentes de variación extrañas, aunque sólo se realiza una parte del total de combinaciones. ..//..

El diseño factorial jerárquico o anidado requiere la manipulación experimental de la variable y, al mismo tiempo, la anidación (o inclusión) de una variable dentro de las combinaciones de tratamientos de los factores. ..//..

Por último, el diseño factorial de medidas repetidas incorpora la técnica intra-sujeto; es decir, el sujeto actúa de control propio y recibe todas las combinaciones de tratamiento generados por la estructura factorial.

Criterios Diseño Cantidad de valores por factor Igual cantidad de valores: 2k, 3k, etc. Cantidad variable: 2x3; 2x3x4, etc. Cantidad de combinaciones de tratamientos Diseño factorial completo Diseño factorial incompleto y fraccionado Grado de control Diseño factorial completamente al azar Diseño factorial de bloques Diseño factorial de Cuadrado Latino Diseño factorial jerárquico Diseño factorial de medidas repetidas

Efectos factoriales estimables 1. Efectos simples 2. Efectos principales 3. Efectos secundarios

Efectos factoriales simples Es posible definir el efecto factorial simple como el efecto puntual de una variable independiente o factor para cada valor de la otra.

Efectos factoriales principales Los efectos factoriales principales, a diferencia de los simples, son el impacto global de cada factor considerado de forma independiente, es decir, el efecto global de un factor se deriva del promedio de los dos efectos simples.

Efectos factoriales secundarios El efecto secundario o de interacción se define por la relación entre los factores o variables independientes, es decir, el efecto cruzado.

Diseño factorial al azar 2x2

Estructura del diseño

Combinación de tratamientos por grupo o casilla Diseño factorial 2x2 A1B1 A1B2 A2B1 A2B2

Formato del diseño factorial completamente al azar c M i P ó n V.E. Z1 Z2 Z3 Z4 V.I. A1B1 A1B2 A2B1 A2B2 S1 S1 S1 S1 Sn1 Sn2 Sn3 Sn4 Asignación al azar

Caso paramétrico. Ejemplo Se pretende probar, en una situación de aprendizaje discriminante animal, si la magnitud del incentivo (variable incentivo) actúa según el aprendizaje sea simple o complejo (variable dificultad de aprendizaje o variable tarea). En esta hipótesis se afirma que a mayor incentivo, más acusada es la diferencia entre las dos tareas (simple o compleja). ..//..

Para ello, se registra la cantidad de discriminaciones correctas (variable dependiente) en función de un criterio general de aprendizaje, que asume como suficientes 15 ensayos. Se toma, como medida de la variable dependiente o de respuesta, la cantidad de respuestas correctas, para un máximo de 15, bajo el supuesto de que cada discriminación correcta tiene la misma dificultad de aprendizaje. ..//..

Para probar la hipótesis propuesta se asignan 32 sujetos, de una muestra experimental, a las combinaciones de tratamientos o casillas (ocho sujetos por casilla), de forma totalmente aleatoria.

Modelo de prueba de hipótesis Paso 1. Según la estructura del diseño son estimables tres efectos. Por esa razón, se plantean tres hipótesis de nulidad relativas a la variable A, variable B e interacción: H0: α1 = α2 = 0 H0: ß1 = ß2 = 0 H0: (αß)11 = (αß)12 = (αß)21 = (αß)22 = 0

Paso 2. Por hipótesis experimental, se espera que los efectos principales y el de la interacción sean significativos. Estas hipótesis se representan, al nivel estadístico, por H1: α1  α2, o no todas las α son cero H1: ß1  ß2, o no todas las ß son cero H1: (αß)11  (αß)12  (αß)21  (αß)22, o no todas las αß son cero.

Paso 3. El estadístico de la prueba es la F de Snedecor, con un α de 0 Paso 3. El estadístico de la prueba es la F de Snedecor, con un α de 0.05, para las tres hipótesis de nulidad. El tamaño de la muestra experimental es N = 32 y el de las submuestras n = 8. Paso 4. Cálculo del valor empírico de las razones F. Para ello, se toma, de nuevo, la matriz de datos del experimento.

60 7.5 70 8.75 27 3.375 52 6.5 8 6 9 7 10 4 3 5 2 A2B2 A2B1 A1B2 A1B1 DISEÑO FACTORIAL 2X2 209 6.53 Totales: Medias:

ANOVA factorial

MODELO ESTRUCTURAL DEL AVAR: DISEÑO FACTORIAL 2X2

Espeficación del modelo Yijk = la puntuación del i sujeto bajo la combinación del j valor del factor A y el k valor del factor B. μ = la media común a todos los datos del experimento. αj = el efecto o impacto de j nivel de la variable de tratamiento A. ßk = efecto del k valor de la variable de tratamiento B. (αß)jk = efecto de la interacción entre el i valor de A y el k valor de B. εij = error experimental o efecto aleatorio de muestreo.

Descomposición polietápica de las Sumas de cuadrados SCA SCentre-grupos SCB SCtotal SCAB SCintra-grupos SCS/AB

Cálculo de las Sumas de Cuadrados: primera etapa SCtotal = SCentre-grupos + SCintra-grupos SCtotal = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(209)²/(8)(4)] = 203.97 SCentre-grupos = [(52)²/8 + (27)²/8 + ... +(60)²/8] – [(209)²/(32)] = 126.59 SCintra-grupos = [(10)² + (9)² + ... + (6)²] – [(52)²/8 + (27)²/8 + ... + (60)²/8] = 77.38

CUADRO RESUMEN DEL AVAR PRIMERA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2 abn-1=31 203.97 Total (T) <0.05 15.28 42.19 2.76 ab-1=3 ab(n-1)=28 126.59 77.38 Entre G Intra G (E) p F CM g.l. SC F.V.

Inferencia del primer análisis Del primer análisis se concluye que los grupos de tratamiento o experimentales difieren significativamente entre sí; la probabilidad de que un valor F de 15.28 ocurra al azar es menor que el riesgo asumido (α = 0.05). ..//..

En consecuencia, se procede a determinar las causas de esa significación. Nótese que este análisis no obedece a ningún propósito de investigación, ya que sólo sirve para detectar si, en términos globales, hay o no diferencia entre los grupos. De hecho, es como si se hubiera aplicado un modelo uni-factorial de la variancia.

Cálculo de las Sumas de Cuadrados: segunda etapa SCentre-grupos = SCfactor A + SCfactor B + SCinteracción AxB El cálculo de estas Sumas de Cuadrados requiere la previa construcción de la tabla de los totales por columnas.

MATRIZ DE DATOS ACUMULADOS 209 87 122 TOTALES 130 60 70 A2 79 27 52 A1 B2 B1

Cálculo del valor empírico de las Sumas de cuadrados SCA = [(79)²/16 + (130)²/16] – [(209)²/32] = 81.28 SCB = [(122)²/16 + (87)²/16] – [(209)²/32] = 38.28 SCAB = SCentre-grupos – SCA – SCB = 126.59 – 81.28 - 38.28 = 7.03

CUADRO RESUMEN DEL AVAR SEGUNDA ETAPA: DISEÑO FACTORIAL 2X2 <0.05 >0.05 29.94 13.87 2.55 81.28 38.28 7.03 (a-1)=1 (b-1)=1 (a-1)(b-1)=1 Factor A Factor B Inter AxB F0.95(3/28) = 2.95; F0.95(1/28) = 4.20 abn-1=31 203.97 Total (T) 15.28 42.19 2.76 ab-1=3 ab(n-1)=28 126.59 77.37 Entre-g Intra-g p F CM g.l SC F.V.

Inferencia del segundo análisis Paso 5. De los resultados del análisis se infiere la no-aceptación de las hipótesis de nulidad para los efectos principales de A y B, con riesgo de error del 5 por ciento. En cambio, se acepta la hipótesis de nulidad para la interacción. En suma, sólo se deriva la significación de los efectos principales.

No interacción (nula) A1 A2 B1 B2

Interacción positiva A1 A2 B1 B2

Interacción negativa A1 A2 B1 B2

Interacción inversa A2 A1 B1 B2

Representación gráfica de la interacción A1 A2 B1 B2 Interacción nula A1 A2 B2 B1 Interacción positiva A1 A2 B2 B1 Interacción negativa A1 A2 B1 B2 Interacción inversa

MEDIAS DE GRUPOS DE TRATAMIENTO 7.5 8.75 A2 3.38 6.5 A1 B2 B1

GRÁFICO INTERACCIÓN

Ventajas del diseño factorial Se ha descrito, a lo largo de ese tema, los conceptos básicos del diseño factorial o estructura donde se manipulan, dentro de una misma situación experimental, dos o más variables independientes (o factores). En aras a una mejor exposición del modelo se ha descrito, básicamente, el diseño bifactorial a dos niveles, dentro del contexto de grupos completamente al azar. ..//..

La disposición bifactorial aporta información no sólo de cada factor (efectos principales), sino de su acción combinada (efecto de interacción o efecto secundario). De esta forma, con la misma cantidad de sujetos requerida para experimentos de una sola variable independiente o factor, el investigador puede estudiar simultáneamente la acción de dos o más variables manipuladas. ..//..

Ello supone un enorme ahorro de tiempo y esfuerzo Ello supone un enorme ahorro de tiempo y esfuerzo. Si se tiene en cuenta la posibilidad de analizar la acción conjunto o cruzada de las variables, se concluye que el diseño factorial es una de las mejores herramientas de trabajo del ámbito psicológico, puesto que la conducta es función de muchos factores que actúan simultáneamente sobre el individuo. ..//..

Diseños factoriales 2 x 2 de bloques Bloque k ………………………………………….…………………………………………. A1B1 A2B1 A1B2 A2B2 S11 S12 S14 S13 S21 S22 S24 S23 Sk1 Sk2 Sk4 Sk3