23. Bedi f : R3 -----> R3 endomorfismoa, non f(x, y, z) = (x+2y+3z, -x+y, x+y+2z) Aurkitu beraren autobalioak eta hauei dagokien azpiespazio propioak. Autobalioak kalkulatzeko polinomio karakteristikoa ebatzi behar dugu, eta hau lortzeko endomorfismoari dagokion matrizeren bat (edozein oinarriarekikoa) behar dugu. Oinarri kanonikoarekikoa kalkulatzen badugu:

Eta, ondorioz, polinomio karakteristikoa hurrengo determinantetik erdiesten da: 2. lerroa batzen diogu

3. zutabea kentzen diogu Beraz, polinomio karakteristikoa honela idatz daiteke: eta ondorioz, autobalioak hurrengo hauek dira:

Azter ditzagun orain autobalio hauei dagokien azpiespazio propioak:

l2=2:

24. R-ren gaineko R3 espazio bektorialean definituriko f endomorfismoaren matrize bat (oinarri kanonikoarekikoa) hurrengoa da: Aurkitu itzazu f-ren autobalioak eta autobalio bakoitzaren azpiespazio propioen oinarri bana. Autobalioak kalkulatzeko polinomio karakteristikoa ebatzi behar dugu:

2. lerroa batzen diogu

3. zutabea kentzen diogu

Beraz, polinomio karakteristikoa honela idatz daiteke: eta ondorioz, autobalioak hurrengo hauek dira:

Azter ditzagun orain autobalio hauei dagokien azpiespazio propioak: f(x, y, z)-ren koordenatuak kalkulatzeko, hau da, jakiteko zeintzu diren (x, y, z) bektoreari dagokion irudiaren koordenatuak, endomorfismoaren matrizea erabiliko dugu:

Beraz:

l2=2:

l3=3:

25. Errepika ezazu aurreko ariketakoa beste kasu hauetarako:

2. zutabea batzen diegu 1. zutabea kentzen diogu

Beraz, polinomio karakteristikoa honela idatz daiteke: eta ondorioz, autobalioak hurrengo hauek dira:

Azter ditzagun orain autobalio hauei dagokien azpiespazio propioak: l1= a+1: f(x, y, z)-ren koordenatuak kalkulatzeko, hau da, jakiteko zeintzu diren (x, y, z) bektoreari dagokion irudiaren koordenatuak, endomorfismoaren matrizea erabiliko dugu:

Beraz:

l2= a-2:

2. zutabea batzen diogu 3. lerroa kentzen diogu

Beraz, polinomio karakteristikoa honela idatz daiteke: eta ondorioz, autobalioak hurrengo hauek dira:

Azter ditzagun orain autobalio hauei dagokien azpiespazio propioak: f(x1, x2, x3,  x4)-ren koordenatuak kalkulatzeko, hau da, jakiteko zeintzu diren (x1, x2, x3,  x4) bektoreari dagokion irudiaren koordenatuak, endomorfismoaren matrizea erabiliko dugu:

Beraz:

l2= 2:

l3= -1:

4. lerroa bider hiru kentzen diogu

3. zutabea bider hiru batzen diogu 3. lerroa bider bi kentzen diogu

2. zutabea bider bi batzen diogu

Beraz, polinomio karakteristikoa honela idatz daiteke: eta ondorioz, autobalioak hurrengo hauek dira:

Azter ditzagun orain autobalio hauei dagokien azpiespazio propioak: f(x1, x2, x3,  x4)-ren koordenatuak kalkulatzeko, hau da, jakiteko zeintzu diren (x1, x2, x3,  x4) bektoreari dagokion irudiaren koordenatuak, endomorfismoaren matrizea erabiliko dugu:

Beraz:

l2= 1:

l3= -1:

26. Aurki ezazu aurreko ariketaren endomorfismoen adierazpen sinpleena (diagonala edo triangeluarra):

Hortaz, hurrengo autobektoreek osatzen duten oinarriarekiko, endomorfismoari dagokion matrizea diagonala izango da:

Hortaz, ezinezkoa da autobektoreez osotutako oinarriren bat lortzea eta, horregatik, endomorfismo hau ez da diagonalizagarria, hain zuzen ere. Oinarri batek, gehienera jota, hiru autobektore elkarren linealki independenteak edukiko ditu. Dauzkagun hiru autobektoreak biltzen baditugu bektore-sistema batetan, bektore-sistema hori askea da (autobektore horiei dagokien autobalioak desberdinak direlako), eta bertatik abiatuz, oinarri bat erdietsi dezakegu, baldin eta bektore-sistema horri gehitzen badiogu hiru autobektoreekiko linealki independentea izango den laugarren bektoreren bat:

27. Bedi P2[x] bektore-espazioan definitutako f endomorfismoa, non , eta a, b, c  R direlarik. a) Aurkitu bere matrizea hurrengo oinarriarekikoa: B={1+0x+0x2, 1+1x+0x2, 1+1x+1x2} b) Aurkitu beraren autobalioak eta hauei dagokien azpiespazio propioak. c) Aurkitu oinarri bat, zeinarekiko endomorfismoaren matrizea diagonala den. d) Kalkulatu B oinarritik aurreko oinarrira doan oinarri-aldaketaren matrizea. e) Kalkulatu 1+1x+1x2 polinomioaren irudia f20 -rekikoa.

27. Bedi P2[x] bektore-espazioan definitutako f endomorfismoa, non , eta a, b, c  R direlarik. a) Aurkitu bere matrizea hurrengo oinarriarekikoa: B={1+0x+0x2, 1+1x+0x2, 1+1x+1x2}

Lehen lortutako irudiak adierazi behar ditugu B oinarrian. Hori egiteko kalkula ditzagun zein izango diren polinomio bati dagozkion koordenatuak B oinarriarekikoak (a, b, g), beraren koordenatuak (a, b, c) direnean oinarri kanonikoarekikoak, hau da, {1+0x+0x2, 0+1x+0x2, 0+0x+1x2} oinarriarekiko:

Orain erabil dezagun goikoa kalkulatzeko lehen lortutako irudien koordenatuak B oinarriarekikoak: Ondorioz, endomorfismoari dagokion matrizea B oinarriarekikoa hurrengo hau da:

27. Bedi P2[x] bektore-espazioan definitutako f endomorfismoa, non , eta a, b, c  R direlarik. a) Aurkitu bere matrizea hurrengo oinarriarekikoa: B={1+0x+0x2, 1+1x+0x2, 1+1x+1x2} b) Aurkitu beraren autobalioak eta hauei dagokien azpiespazio propioak. c) Aurkitu oinarri bat, zeinarekiko endomorfismoaren matrizea diagonala den. d) Kalkulatu B oinarritik aurreko oinarrira doan oinarri-aldaketaren matrizea. e) Kalkulatu 1+1x+1x2 polinomioaren irudia f20 -rekikoa.

b) Aurkitu beraren autobalioak eta hauei dagokien azpiespazio propioak. Endomorfismo honi dagokion polinomio karakteristikoa hau da:

Azter ditzagun orain autobalio hauei dagokien azpiespazio propioak:

l2=1:

l3=2:

27. Bedi P2[x] bektore-espazioan definitutako f endomorfismoa, non , eta a, b, c  R direlarik. a) Aurkitu bere matrizea hurrengo oinarriarekikoa: B={1+0x+0x2, 1+1x+0x2, 1+1x+1x2} b) Aurkitu beraren autobalioak eta hauei dagokien azpiespazio propioak. c) Aurkitu oinarri bat, zeinarekiko endomorfismoaren matrizea diagonala den. d) Kalkulatu B oinarritik aurreko oinarrira doan oinarri-aldaketaren matrizea. e) Kalkulatu 1+1x+1x2 polinomioaren irudia f20 -rekikoa.

c) Aurkitu oinarri bat, zeinarekiko endomorfismoaren matrizea diagonala den. Horrelako oinarri bat izango da autobektoreez osotutako oinarri bat. Adibidez hurrengo hau: zeinarekiko endomorfismoari dagokion matrizea hurrengo matrize diagonala den:

27. Bedi P2[x] bektore-espazioan definitutako f endomorfismoa, non , eta a, b, c  R direlarik. a) Aurkitu bere matrizea hurrengo oinarriarekikoa: B={1+0x+0x2, 1+1x+0x2, 1+1x+1x2} b) Aurkitu beraren autobalioak eta hauei dagokien azpiespazio propioak. c) Aurkitu oinarri bat, zeinarekiko endomorfismoaren matrizea diagonala den. d) Kalkulatu B oinarritik aurreko oinarrira doan oinarri-aldaketaren matrizea. e) Kalkulatu 1+1x+1x2 polinomioaren irudia f20 -rekikoa.

d) Kalkulatu B oinarritik aurreko oinarrira doan oinarri-aldaketaren matrizea. Hurrengo oinarri-aldaketari dagokion G matrizea kalkulatu behar dugu: Dakigun bezala G matrizearen zutabeak izango dira hasierako oinarriaren bektoreen koordenatuak oinarri berriarekikoak. Horiek lortzeko kalkula ditzagun zein izango diren polinomio bati dagozkion koordenatuak autobektoreen oinarriarekikoak (a, b, g), beraren koordenatuak (a, b, c) direnean oinarri kanonikoarekikoak, hau da, {1, x, x2} oinarriarekiko:

Orain erabil dezagun goikoa kalkulatzeko hasierako oinarriaren bektoreen koordenatuak autobektoreen oinarriarekikoak:

Egiazta daitekeenez:

27. Bedi P2[x] bektore-espazioan definitutako f endomorfismoa, non , eta a, b, c  R direlarik. a) Aurkitu bere matrizea hurrengo oinarriarekikoa: B={1+0x+0x2, 1+1x+0x2, 1+1x+1x2} b) Aurkitu beraren autobalioak eta hauei dagokien azpiespazio propioak. c) Aurkitu oinarri bat, zeinarekiko endomorfismoaren matrizea diagonala den. d) Kalkulatu B oinarritik aurreko oinarrira doan oinarri-aldaketaren matrizea. e) Kalkulatu 1+1x+1x2 polinomioaren irudia f20 -rekikoa.

e) Kalkulatu 1+1x+1x2 polinomioaren irudia f20 -rekikoa.

Hortaz: Gure kasuan, eskatzen digute kalkulatzeko f 20 (1+x+x2) eta 1+x+x2 ez da autobektore bat. Dena den, agerian dagoenez, bi autobektoreen batura da, zeren 1+x eta x2 benetako autobektoreak baitira. Bestaldetik, f 20 lineala da, f lineala delakoeta, ondorioz hurrengo hau egin dezakegu:

28. Diagonalizatu hurrengo matrizeak:

Beraz, polinomio karakteristikoa honela idatz daiteke: eta ondorioz, autobalioak hurrengo hauek dira:

Hiru autobalio elkarren desberdinak daukagunez hiru dimentsioko bektore-espazio batean, endomorfismo hau, dakigun bezala, automatikoki diagonalizagarria da eta berari dagokion matrize diagonal bat hurrengo hau izan daiteke:

Beste 2 lerroak batzen dizkiogu 1. lerroa kentzen diogu

Beraz, polinomio karakteristikoa honela idatz daiteke: eta ondorioz, autobalioak hurrengo hauek dira: Jakiteko ea endomorfismoa diagonalizarria den ala ez, aztertuko dugu -1 autobalioari dagokion azpiespazio propioa. Honen dimentsioa bi baldin bada (hau da -1 autobalioaren anizkoiztasunaren berdina) endomorfismoa benetan diagonalizagarria izango da. Dimentsioa, ordea, bat bada ez da diagonalizagarria izango.

l2=-1: f(x, y, z)-ren koordenatuak kalkulatzeko, hau da, jakiteko zeintzu diren (x, y, z) bektoreari dagokion irudiaren koordenatuak, endomorfismoaren matrizea erabiliko dugu:

Beraz:

Beste 2 lerroak batzen dizkiogu 1. zutabea kentzen diegu

Beraz, polinomio karakteristikoa honela idatz daiteke: eta ondorioz, autobalioak hurrengo hauek dira: Jakiteko ea endomorfismoa diagonalizarria den ala ez, aztertuko dugu 1 autobalioari dagokion azpiespazio propioa. Honen dimentsioa bi baldin bada (hau da 1 autobalioaren anizkoiztasunaren berdina) endomorfismoa benetan diagonalizagarria izango da. Dimentsioa, ordea, bat bada ez da diagonalizagarria izango.

l2=1: f(x, y, z)-ren koordenatuak kalkulatzeko, hau da, jakiteko zeintzu diren (x, y, z) bektoreari dagokion irudiaren koordenatuak, endomorfismoaren matrizea erabiliko dugu:

Beraz:

Beraz, polinomio karakteristikoa honela idatz daiteke: eta ondorioz, autobalioak hurrengo hauek dira: Jakiteko ea endomorfismoa diagonalizarria den ala ez, aztertuko dugu 1 autobalioari dagokion azpiespazio propioa. Honen dimentsioa bi baldin bada (hau da 1 autobalioaren anizkoiztasunaren berdina) endomorfismoa benetan diagonalizagarria izango da. Dimentsioa, ordea, bat bada ez da diagonalizagarria izango.

l1=1: f(x, y, z)-ren koordenatuak kalkulatzeko, hau da, jakiteko zeintzu diren (x, y, z) bektoreari dagokion irudiaren koordenatuak, endomorfismoaren matrizea erabiliko dugu:

Beraz: