C

operaciones par-binomio definición par-binomio Historia definición polar-trigon. operaciones polar-trigon. Ampliación Fractales, caos y cuaterniones

Historia C

C C soluciona el defecto algebraico de R de que existan ecuaciones polinómicas con coeficientes reales que no tienen soluciones reales. Ej. x2 + 1 = 0. C N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Solución “intrigante”. Girolamo Cardano (1501-1576) Ars Magna (1545) Considerada como la fecha de nacimiento de los números complejos. Resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado. “Divide 10 en dos partes, de modo que una por la otra dé 40.” x(10-x)=40 Solución “intrigante”.

Cardano sabía que x = 4 es solución de esta ecuación. Forma general de la ecuación cúbica y solución: Funcionaba bien en algunos casos, como: Pero en otros ... : Cardano sabía que x = 4 es solución de esta ecuación. Rafael Bombelli (1526-1572) resolvió la situación operando como lo hacemos hoy con números complejos.

son simplemente imaginarias.” 60 años después de Bombelli: “A pesar de que podemos pensar que la ecuación x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres raíces, únicamente una de ellas es real, la cual es 2, y las otras dos…   son simplemente imaginarias.” René Descartes "La Géométrie" (1637) René Descartes (1596-1650)

Gottfried von Leibnitz (1.646 – 1.716) “Los números imaginarios son un excelente y maravilloso refugio del Espíritu Santo, una especie de anfibio entre ser y no ser” Otros términos que han sido usados para referirse a los números complejos incluyen : “Sofisticados” (Cardano) “Sin sentido” (Néper) “Inexplicables” (Girard) “Incomprensibles” (Huygens) “Imposibles” (Diversos autores)

Con Euler los imaginarios se incorporan definitivamente en la Matemática. Leonhard Euler (1.707 – 1.783) “formulam littera i …” Leonhard Euler (1777) i2 = -1; introdujo la notación binómica. Demostró que el conjunto de los números “imaginarios” era cerrado para las cuatro operaciones básicas, así como para la potenciación y la radicación. “Estos números no son nada, ni menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”.

Karl Friedrich Gauss (1777-1855) A los números enteros se han agregado las fracciones; a las cantidades racionales, las irracionales; a las positivas, las negativas; y a las reales, las imaginarias”.   Karl Friedrich Gauss (1777-1855) “Números íntegros complexos” K. F. Gauss (1831) “¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la interpretación geométrica: x+iy → (x,y).

“La visualización de los números reales mediante los puntos de una recta o de los números complejos mediante los puntos del plano no solamente penetró sin gran resistencia en el análisis, sino que se puede decir con razón que, en el caso de los números complejos, esta visualización (Argand, Gauss) fue lo que hizo posible vencer la fuerte oposición de la comunidad matemática al dar carta de ciudadanía a los números complejos”. El rincón de la pizarra: ensayos de visualización en análisis matemático. Miguel de Guzmán (1936-2004)

definición forma de par y binónica C

z = (a,b) (x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2 Un número complejo z es un par ordenado de números reales a y b, escrito como: z = (a,b) (Notación en componentes o coordenadas cartesianas). El conjunto de números complejos, se denota por C a se llama la parte real de z: Re(z) := a b se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=b Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e imaginarias son iguales: (x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2

z = a + bi (0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por: (Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones con el símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica). Un número complejo z = (a,b) se escribe comúnmente como : z = a + bi (notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño) Si a= 0, se dice que es un imaginario puro. Si b= 0, z se comporta como un número real.

z = (a,b) z = a + bi C

el plano complejo

z = (x,y) El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss) Eje imaginario Argand: Jean Argand - a librarian in Paris, published paper on complex plane in 1806 Eje real

Ejemplo: Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo

C operaciones

conjugado El conjugado de un número complejo z = x + i y se define como: Gráficamente el conjugado es una reflexión respecto al eje real.

conjugado Es sencillo demostrar que:

opuesto El opuesto de un número complejo z = x + i y se define como: Gráficamente el opuesto es una reflexión respecto al punto (0,0)

Suma y producto Sean: Suma Producto Parte real Parte imaginaria “En la facultad teníamos un profesor cojo al que llamábamos el complejo. Tenía una pierna real y otra imaginaria.” Memorias de un estudiante de matemáticas Sean: Parte real Parte imaginaria Suma Producto

De modo que podemos sustituir siempre: Ejemplos: (1) De modo que podemos sustituir siempre: (2) Ejemplo:

Potencias de i Por ejemplo:

Resta División El cociente de dos números (operación inversa a la suma) División (operación inversa al producto) El cociente de dos números complejos se halla multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del denominador

Suma y resta de números complejos en el plano complejo En la suma (y la resta) los números complejos se comportan como vectores

Sean: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i Hallar el inverso de i: Ejemplos: (1) (2) Hallar el inverso de i:

Re(z1) = 18, Re(z2) = -7 Im(z1) = 3, Im(z2) = 2 Ejemplo: Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i Calcular: Re(z1) = 18, Re(z2) = -7 Im(z1) = 3, Im(z2) = 2 z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i más ejercicios

Propiedades algebraicas La suma y el producto dotan a C de estructura de cuerpo. Ley de clausura: z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C. Ley conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1 z1 z2 = z2 z1 Ley asociativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3) Ley distributiva: z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3

z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma) 0+z = z+0 = z (Neutro para la suma) z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma) z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto) z · z-1 = z-1 · z = 1 (Inverso para el producto) (Para todo z distinto de 0) {C,+,·} es un cuerpo. No es posible ordenar el conjunto de los números complejos. Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2

Una falacia ...

Falacia ¿1=-1?

Forma polar C

z = (x,y) El plano complejo (Plano z, de Argand o de Gauss) Módulo: Eje imaginario También llamado “valor absoluto” (el módulo de un real es su valor absoluto) Argumento: Argand: Jean Argand - a librarian in Paris, published paper on complex plane in 1806 Eje real Para z = 0, el ángulo  no está definido. El 0 no tiene forma polar Con calculadora: Teclas RP, PolRec, rθ, …

Forma polar Forma trigonométrica

Ejemplo: Escribir el siguiente número complejo z1=1+i, en forma polar y trigonométrica: módulo: argumento: solución

El argumento está multivaluado. Ejemplo: Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo y evaluar módulo y argumento Módulo: La calculadora no distingue Argumento: El argumento está multivaluado.

operaciones polar-trigon. C

Multiplicación

Producto de números complejos en el plano complejo

Multiplicar por i es equivalente a girar 90 grados

Potencias

Abraham de Moivre (1667 - 1754) Fórmula de Moivre Potencias enteras de complejos en forma polar:

El teorema de Moivre es una máquina de generar identidades trigonométricas. Por ejemplo: Igualando las partes reales e imaginarias:

Potencias iguales Distintos números complejos pueden llevar al mismo resultado al realizarles una misma potencia … Esto nos lleva al cálculo de raíces

Potencias repetidas … Raíces Un número complejo tiene tantas raíces como su índice Sus afijos son los vértices de un polígono regular

Raíces Partimos de un número complejo z se llama la raíz enésima de z a cualquier número w que cumple: wn = z, y se escribe como Módulo de w Ángulo de w

Raíces La fórmula para el cálculo de las raíces se basa en el teorema de Moivre Sean w= R(cosα+ i sinα) z = r(cos + i sin) Por el teorema de Moivre: wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cos + i sin) Igualando los módulos y los ángulos obtenemos

Raíz cuarta … Primer ángulo Ángulo a añadir

Ejemplo: raíces de la unidad

División

División de números complejos en el plano complejo

ampliación C

Fractales

z  z2 + C. (conjunto de Mandelbrot) Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas Benoit Mandelbrot publicó en 1975 su primer ensayo sobre fractales Su dimensión es fraccionaria Su construcción se basa en la iteración de un número complejo, es decir se hace una operación y ésta se repite con el resultado …. z  z2 + C. (conjunto de Mandelbrot)

Benoit Mandelbrot (Polonia-1924) retomó los trabajos de Juliá en 1970 El trabajo pionero en el juego de hacer iteraciones con números complejos fue desarrollado por dos matemáticos franceses, Gaston Julia (a la izquierda) y Pierre Fatou (a la derecha), a principios del siglo XX. Mandelbrot y esposa Madrid-ICM 2006 Benoit Mandelbrot (Polonia-1924) retomó los trabajos de Juliá en 1970

Aplicaciones En el cuerpo humano existen estructuras con geometría fractal, como son la red vascular, las ramificaciones bronquiales, la red neuronal, la disposición de las glándulas, etc. El físico-matemático Antonio Brú ha modelado matemáticamente el crecimiento de los tumores, o al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica la primera ecuación de crecimiento tumoral en la mejor revista del mundo de física. “ … Este físico español ha logrado curar un cáncer de hígado terminal con una ecuación …” . http://www.periodistadigital.com/salud/object.php?o=82957

Diseño de Antenas Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de hasta un millar de pequeñas antenas. Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas muchos teléfonos móviles o inalámbricos. Amén de ser más baratas de fabricar, operan en múltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al teléfono, al tiempo que la antena puede quedar oculta en el interior del aparato. http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.html http://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm (Visita la Web de los Ingenieros de la Universidad politécnica de Cataluña)

El cine Los fractales han estado siendo usados comercialmente en la industria cinematográfica, en películas como Star Wars y Star Trek. http://starwars.ya.com/ http://www.trekminal.com/newvoyages/web/descargas.php

mis fractales Visita la web de un artista: http://home.wanadoo.nl/laurens.lapre/ escucha música fractal mis fractales Fractal hecho con el programa apophysis. www.apophysis.org Otros programas: Xaos IfsAttrActoR http://www.arrakis.es/~sysifus/software.html

Botánica

Caos "¿La vibración de las alas de una mariposa en Brasil pue-de desencadenar un ciclón en Tejas?". (Poincaré)

producen grandes efectos A comienzos de la década del 60, Lorenz se puso a elaborar un modelo matemático para predecir fenómenos atmosféricos, y por casualidad descubrió que la misma herramienta matemática que utilizaba estaba fallando: pequeños cambios en las condiciones iniciales producian diferencias asombrosas Causas pequeñas producen grandes efectos caos

los fractales son la representación grafica del caos. Ejemplos de sistemas caóticos incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población. los fractales son la representación grafica del caos. En la década del 70 se empezaron a investigar comportamientos caóticos en el ritmo cardíaco, las reacciónes químicas, el mercado bursátil ….

Cuaterniones

Cuaterniones e hipercomplejos Los cuaterniones son números complejos en cuatro dimensiones en lugar de dos (Hamilton 1843). Así un cuaternión q se expresa como:  q = a+ib+jc+kd  donde a,b,c,d son números reales.   Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865)

!La propiedad conmutativa no se cumple para el producto de cuaterniones¡. El software de vuelo del Space Shuttle usaba cuaterniones para el control de navegación y vuelo Los cuaterniones se emplean para describir dinámicas en 3 dimensiones, en física y en gráficos por ordenador (para hacer películas y juegos).

Bibliografía Basada en la presentación de Bartolo Luque http://www.disa.bi.ehu.es/ (nº complejos-archivo ppt) http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html (área fractal-varios) http://es.webfractales.com/ (imágenes-software) http://www.divulgamat.net/weborriak/Exposiciones/ArteMate/Perry/artemate.asp (arte fractal) http://algorithmicbotany.org/vmm-deluxe/TableOfContents.html (laboratorio virtual de plantas) http://www.quanta.net.py/zfractal/mainmenu.htm http://www.geocities.com/Paris/Rue/1195/gallery1.html http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen3/ciencia3/147/htm/fractus.htm (fractales y caos) http://platea.pntic.mec.es/aperez4/antonio-perez.html http://www.margencero.com/estevez/estevez_intro.html (música) http://www.dlsi.ua.es/%7Ejaperez/fractal/ (música) http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo5/5.html (cuaterniones) http://www.fractalmusiclab.com/default.asp http://www.culturageneral.net/musica/clasica/ http://sombra.lamatriz.org/terraforming/html/ficcion.html Autora: Mª Jesús Casado IES Daviña Rey-Monforte