4. 0 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD 4 4.0 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD 4.1 DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI . Se caracteriza por: a) Ser un experimento aleatorio que consiste en efectuar una sola prueba con dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, arbitrariamente llamados éxito y fracaso. b) Por ser un experimento aleatorio que consiste en seleccionar un elemento de una población finita o infinita dividida en dos clases, arbitrariamente llamadas: “ la clase de los éxitos y la clase de los fracasos”. EJEMPLOS: - Seleccionar un artículo de este lote que contiene un porcentaje de artículos defectuosos para verificar si es defectuosos o bueno. - Ejecutar un sólo tiro para ver si da en el blanco o no. - Encender un equipo de laboratorio para verificar si funciona o no. - Tomar un examen y calificar aprobado o desaprobado

DEF : Si la variable aleatoria x toma únicamente 2 valores x = 0,1 ; Si x = 1 el resultado es un éxito y x = 0 el resultado es un fracaso. La probabilidad de conseguir exactamente x éxitos en un ensayo de Bernulli esta dado: P ( X(W) ) = x ) = F (x) = Px ( 1 - P) 1 - x ,x = 0 , 1 donde P es la probabilidad de conseguir un éxito y f define una función de cuantía llamada Cuantía de Bernulli con parámetro P. y su función de distribución esta dado por :

E[x] = p V[x ] = p*(1-p)

EJEMPLO 1: Se selecciona un artículo de un lote de 100 artículos que contiene 5 artículos defectuosos. Sí X es la v. a. que representa el número de artículos defectuosos: a) Hallar la función de cuantía. b) La función de distribución acumulada. c) La esperanza y varianza. SOLUCIÓN x 1 - x a) f (x) = P ( 1 – P) x = 0 , 1 x 1 - x f(x) = 0.05 (0.95) ya que P = 5/100 ; 1 - P = Q = 0.95

b)La función de Distribución Acumulada F(x) c) Esperanza y Varianza 1 E [ x] =  x P(x) = P = 0.05 x=0 V[ x ] = 0.05* 0.95 = 0.0475

3.2 DISTRIBUCION BINOMIAL Esta distribución se caracteriza por: Existir solamente dos posibles resultados en cada ensayo ( éxito y fracaso) La probabilidad de un éxito es la misma en cada ensayo Hay n ensayos donde n es constante Los n ensayos son independientes . DEF. La distribución de probabilidades se denomina distribución Binomial debido a que para x = 0,1,2,........n , los valores de las probabilidades son los términos sucesivos del desarrollo binomial [ (1 –P) + P] n y las cantidades combinatorias n C x reciben el nombre de “coeficientes binomiales” donde:

x n-x B( x, n, P) = n Cx P (1-p) para x = 0,1, 2.........n donde P: probabilidad de éxito f define una función de cuantía , con dos parámetros n, P y su función de distribución binomial está dada por: 0 , x < 0 f(0) , 0  x < 1 f(0) + f(1) , 1  x < 2 F(x) = f((0)+f(1)+f(3) , 2  x < 3 . 1 , x  n E[X] = nP y V[x] = npq

a) cuatro de cinco instalaciones . b) al menos 4 de 5 instalaciones. EJEMPLO 3: Se asegura que el 60% de las instalaciones generadoras de electricidad mediante energía solar en un Centro Educativo Experimental , los gastos de servicios se reducen al menos en una tercera parte . De acuerdo a lo anterior cuales son las probabilidades que se reduzca al menos en una tercera parte en: a) cuatro de cinco instalaciones . b) al menos 4 de 5 instalaciones. SOLUCION P = 0.6 x = 4 n = 5 a) b(4 , 5, 0.6) = 5 C 4 (0.6 )4 *(1- 0.6 )5 - 4 = 0.259

b) x = 4 ó x = 5 entonces b (5 , 5 , 0.6 ) = 5 C 5 (0.6 )5 0.40 = 0.078 P ( x >= 4 ) = P ( x = 4 ) + P ( x= 5 ) = 0.259 + 0.078 = 0.337

3.5 DISTRIBUCION DE POISSON DEF. Sea X una variable aleatoria que toma los valores posibles 0, 1, 2.......n .... , x es la frecuencia con la que se presenta un fenómeno en un intervalo de tiempo o en un espacio bi, tridimensional. La probabilidad de conseguir exactamente x éxitos cuando el fenómeno aleatorio es de poisson , esta dado por: -  x P (X= x ) = e  ; x = 0, 1, 2, 3,....... x! Decimos que x tiene una distribución de Poisson con parámetro  > 0

TEOREMA Si x tiene la distribución de Poisson con parámetro  , entonces E [ x ] =  V [x ] =  Ejemplo: El numero de fallas en una prueba atómica es en termino medio de 2 %, en una muestra de 1000 pruebas ¿ Cuál es la probabilidad de encontrar 16 fallas?. Solución  = 0.02*1000 =  = E(x) =20 f(x) = = 0.0646

4. 0 DISTRIBUCIONES CONTINUAS 4 4.0 DISTRIBUCIONES CONTINUAS 4.1 DISTRIBUCIÓN UNIFORME O RECTANGULAR Sea X una vía continua sin distribución uniforme sí: Gráficamente f(x) x

Donde su función acumulativa de distribución esta dada por: 1

Esta distribución de la variable aleatoria x continua puede transformarse en la siguiente densidad uniforme: Teorema : si x se distribuye uniformemente entonces

4.4 DISTRIBUCIÓN NORMAL Definición.- La variable aleatoria X que toma todos los valores reales tiene una distribución normal (o gausiana). Si su función de densidad es de la forma ; Los parámetros deben satisfacer las condiciones El gráfico de la función tiene forma acampanada asintótica al eje X, simétrica con respecto al Centroide Vertical (recta perpendicular al eje x que pasa por x =) y continua en todo R.

Tiene sus puntos de inflexión en

La probabilidad Si f(x) es una función de densidad entonces debe cumplir que a) b) ESPERANZA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Varianza de x 4.5 DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR Si X sigue una distribución normal (x ,u, ) entonces mediante la transformación se obtiene la normal estándar cuya densidad se puede expresar:

i) Z sigue una distribución normal (z,0,1) y su grafico es: 4.5.1 CARACTERÍSTICAS: i) Z sigue una distribución normal (z,0,1) ii)Los puntos de inflexión están en iii)La media, Moda y Mediana coinciden y son iguales a cero iv)La forma es acampanada, simétrica con respecto a y i asintótica al eje Z y continua en todo R.

Gráfico:

El valor de F(z1) se encuentra directamente en la tabla 4. 6 MANEJO DE LA TABLA DE LA NORMAL I)Dados los valores de Z, encontrar el área comprendida Si Z>0 i) El valor de F(z1) se encuentra directamente en la tabla EJEMPL0:

ii) Si Z<0: P(Z<-z)=F(-z)=1-F(z) EJEMPLO:

ii) Si la probabilidad dada es <0.50 los valores de Z II) Dada la probabilidad encontrar Z i)- Si la probabilidad dada es mayor o igual a 0.5 el valor de Z se lee directamente en la tabla ii) Si la probabilidad dada es <0.50 los valores de Z son negativos y se tiene: F(-z) = P ; p < 0.500 1 – F(z) = P F(z) = 1 – p ; donde 1 – p ya es mayor que 0.500 y el valor de F(z) se lee directamente en la tabla. EJEMPLO:

EJEMPLO: F(-z)=0.1469 1-F(z1)=0.1465 F(z1) = 0.8535 z1 =1.05 por simetría -z1 = - 1.05 Determinar Z1, si F(z1)=0.64 cuando la probabilidad no esta en la tabla se usa la interpolación lineal. F(z1) z1 0.6406 0.36 0.64 0.6368 0.35