REGRESION & CORRELACION Dr. Pelayo Delgado Tello

REGRESION LINEAL Y = f ( x , e ) Es la relación de dependencia que existe entre dos variables que pueden expresarse de la forma: Y = f ( x , e ) Donde X es una variable o un conjunto de variables, la variable x es independiente (aunque ambas están ligadas) que se supone conocida o se predetermina se denomina predictor y la variable Y que se desea estimar estimador

En general se tiene la relación funcional: Y = f ( X, 1, 2 ,3 ......k, e) Donde:   e : se denomina error aleatorio j : son los parámetros de la relación . X : variable independiente supuestamente conocida

El experimentador selecciona “n” pares de valores, esto es para cada valor de X observa un valor de Y , y por lo tanto la muestra estará constituida por pares ordenados de la forma: (x1,y1); ( x2,y2) , ( x3,y3), ..... ( xn , yn)

Para el estudio de regresión se presenta dos casos respecto a “e” : CASO A: Cuando la distribución de “e” es normal CASO B: Cuando no se conoce la distribución de “e” ; pero se sabe algo de ella En ambos casos el valor aleatorio de “e” es tal : E [e ] = 0 y V(e) = 2 Donde 2 constituye un parámetro más del estudio.

REGRESION LINEAL SIMPLE Estudiaremos el caso más simple, cuando X es una variable real observable. Sea Y = f ( x, 0, 1 , e ) una función de relación de la variable Y sobre la variable X , tal que: E [y ] = 0 + 1X Entonces podemos escribir el siguiente modelo: Yi = 0 + 1Xi + ei i = 1,2,3, ... n … ( 1 )

Donde:   Yi : v. a. observable del rendimiento ei : v. a. E[ei ] = 0 , E[e2] = 2 Xi : Variable real observable 0, 1: Parámetros de la regresión

Por lo tanto “Y = BiX i +ei” se conoce con el nombre de modelo de regresión lineal simple y se estima por la ecuación: Y = a + b X …. (2)

GRAFICAMENTE: Y B1 Bo X Y = a + b X E (a) = o E (b) = 1 E (y) = 0 + 1 x E (e) = 0 E (e2) = 2   Luego se debe estimar los parámetros 0 y 1 es decir encontrar los valores de a y b a partir de la de la ecuación (2) Y X Bo B1 Y

METODOS DE ESTIMACION a) Método de Máxima Verosimilitud b)Medida de los Momentos c) Método de los Mínimos Cuadrados

METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS Consiste en encontrar los valores de a y b que minimizan la suma de cuadrados de los errores. Estimar los parámetros a y b ………………………………………. Método Práctico: Consiste en obtener las ecuaciones normales

Dado: Dado:

EJEMPLO Se desea determinar la relación que existe entre las pulsaciones y la presión arterial de un determinado paciente. Pulsaciones 11 13 15 17 19 21 Presión Arte. 15.2 17.7 19.3 21.5 23.4 25.4 x y x^2 xy 11 15.2 121 167.2 13 17.7 169 230.1 15 19.3 225 289.5 17 21.5 289 365.5 19 23.9 361 454.4 20 25.4 400 508.4 95 123.0 1565 2014.4

b = b = 0.76274 a =

CORRELACION LINEAL La correlación mide el grado en que dos variables varían conjuntamente , se define también como una mediad de intensidad de asociación. Por tanto debe haber simetría en las dos variables. El coeficiente lineal muestral, también llamado correlación simple, correlación total y correlación momento- producto, se usa con propósitos descriptivos y se define por: ;

Se supone que en la población existe una relación lineal entre las variables. El coeficiente de correlación “r” es una estimación no sesgada del coeficiente de correlación poblacional  (ro) solo cuando el parámetro poblacional es  es 0, el coeficiente de correlación es independiente de las unidades de medida; es una cantidad absoluta o sin dimensión. El coeficiente de correlación “r” varía ente 1 . Si r = 1 ; se dice que existe una correlación perfecta positiva Si r = -1 ; se dice que existe una correlación lineal perfecta pero negativa Si r = 0 ; se dice que no existe correlación .

La siguiente gráfica muestra las posibles formas de correlación, vinculando el valor del coeficiente con su expresión gráfica

El coeficiente de correlación también puede determinar el grado de relación que existe entre un conjunto de datos y un modelo propuesto, y mediante este coeficiente se pude determinar cual es el mejor modelo que explica el comportamiento de los datos, según la siguiente expresión: = =

TIPOS DE CORRELACIÓN La correlación puede clasificarse en dos tipos dependiendo de la cantidad de variables analizadas y  por el tipo de relación lineal, en el primer caso estamos haciendo referencia a: Correlación simple: se estudia la dependencia únicamente entre dos variables Correlación múltiple: se estudia la dependencia entre mas de 2 variables Correlación parcial: cuando se incluye la influencia de variables exógenas no consideradas en el cálculo de los coeficientes.

Dependiendo del tipo de relación lineal el coeficiente relaciona Relación directa entre las variables: un aumento en la variable independiente implica un aumento en la variable dependiente. Relación inversa entre las variables: un aumento en la variable independiente implica una disminución en la variable dependiente. Mejora su correlación si se hace pruebas para determinar si se ajusta mas a una recta, a una curva exponencial o parabólica.

EJEMPLO Encontrar la correlación lineal del problema anterior; Los datos representan la presión alta y baja de 6 pacientes X 11 13 15 17 19 21 Y 15.2 17.7 19.3 21.5 23.4 25.4

Nº de semanas Empleadas Nº de computadores reparadas EJEMPLO La siguiente tabla indica cuantas semanas trabajaron seis personas en un taller de reparación de computadoras y el número de unidades que cada uno repara entre el mediodía y las 2 p.m. en un día cualquiera Nº de semanas Empleadas Nº de computadores reparadas 2 13 7 21 9 23 10 24 5 15 12 26 a) Encuentra el modelo de reparación lineal b) Cuantas computadoras se reparará en 8 días a) Encuentra el modelo de reparación lineal b) Cuantas computadoras se reparará en 8 días

SOLUCION a) b) Si x = 8 entonces

MODELOS NO LINEALES Los modelos no lineales es una extensión de los modelos de asociación simple y lineal múltiple, que determinan la relación entre variables, mediante una función matemática. Así tenemos la ley de los rendimientos decrecientes relacionan en forma no lineal a la producción total con la variable insumo. La inspección del diagrama de dispersión elaborado con los datos muestrales nos puede sugerir una forma adecuada de regresión lineal o algún otro tipo de función no lineal .

ALGUNOS MODELOS NO LINEALES a) Funciones Polinómicas A menudo hallamos que la relación no lineal más obvia es aquella en la cual la variable dependiente Y se puede aproximar mediante un polinomio simple a la variable independiente X , cuya función se representa por: Y = a + bX + cX2 + ......... + zXn

Donde el grado de la ecuación es el índice de la potencia más alta de X , buscamos por lo general un grado tan pequeño como sea posible. La función más común usado en regresión es de 2do. grado es decir la parábola, cuya ecuación de regresión muestral es de la forma: Y = a + bX + cX2 ……… (1)

b) Transformación Recíproca El diagrama de dispersión para datos muestrales con referencia a la demanda y oferta de un bien puede estar dado por : Y = a + b/X … (2) Y = a - b/X … (3)

c) Función exponencial y semilogarítmica Se aplica en caso: Y = a - b/X … (3) ???s que son incompatibles con las funciones polinomiales y se pueden ajustar los datos a una curva exponencial, su ecuación de regresión muestral es: Y = abx ... (4)

Para esta función si a > 0 , entonces Y aumentará indefinidamente a medida que X aumenta y se aproximará asintóticamente a 0 a medida que X disminuye cuando b > 1. Sí b < 1 la función se aproximará a cero asintóticamente a medida que X aumenta; y aumenta indefinidamente a medida que X disminuye.

La función potencial y la transformación doble logarítmica La función potencial está dado por: Y = a Xb ... (5) Esta función representa la relación entre Y y X en la muestra, en donde se desea encontrar el exponente “b” que se desconoce , para esta función si b > 1 aumenta a una tasa creciente, cuando X aumenta. Sí 0 < b < 1 , la tasa de incremento disminuye continuamente para cualquier valor de “b” , y se aproxima al infinito cuando X se aproxima al infinito, cuando b = -1 , la función se representa por una hipérbole rectangular.