CAPITULO 5 CIRCUITOS AJUSTABLES

5.1. INTRODUCIÓN Circuito ajustable es aquel en el cual cambia uno o más de los elementos que contiene, como también si varía la frecuencia, o finalmente los dos. La importancia de su estudio radica en: Muchos circuitos reales tienen elementos cuyos valores cambian en el tiempo. Ejemplo: la carga de un generador no es constante El estudio del ajuste de la frecuencia o del valor de los elementos de un circuito, se puede usar para diseñar un circuito que nos de una determinada respuesta El conocimiento de la respuesta en un determinado rango de frecuencias, hace posible el análisis en esas condiciones

5.2. REPRESENTACIÓN DE ELEMENTOS AJUSTABLES Los elementos ajustables o variables se representan por medio de una flecha que cruza el símbolo del elemento Resistencia variable Inductancia variable Capacitancia variable Fuente de voltaje senoidal de amplitud constante y frecuencia variable

Un cero de la función de impedancia es: EJEMPLO Z(s) = R + s L Un cero de la función de impedancia es:   Plano s -R/L Si R varía, entonces el cero también varía, y como un cero está relacionado con la respuesta, ésta también se modifica

5.3. RESPUESTA A LA FRECUENCIA La incidencia de la frecuencia sobre una función de red puede ser observada por medio de gráficas que muestren la variación del valor absoluto de la función de red y su ángulo de fase frente a cambios en la frecuencia Estas gráficas se denominan CURVAS DE RESPUESTA DE FRECUENCIA Las curvas que representan al módulo de la función de red dependientes de la frecuencia se denomina CURVAS DE AMPLITUD DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA (o curvas de amplitud de la respuesta) Las curvas que representan el ángulo de fase de la función de red dependientes de la frecuencia se denomina CURVAS DE FASE DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA (o curvas de fase de la respuesta)

EJEMPLO  

α ω ω |Z| CURVA DE AMPLITUD DE LA RESPUESTA     α |Z|   ω       ω   CURVA DE AMPLITUD DE LA RESPUESTA CURVA DE FASE DE LA RESPUESTA

5.4. CIRCUITOS CON ELEMENTO AJUSTABLE Como la variación del valor de un elemento de un circuito tiene un efecto en la situación de los polos y ceros; se debe estudiar el efecto que tienen los elementos ajustables sobre el valor de la función compleja, y para esto se recurre a los LUGARES GEOMÉTRICOS. Un Lugar Geométrico, es el lugar de todos los puntos de un plano que cumplen una condición especificada. Los cambios en la combinaciones serie-paralelo de pares de elementos R-L-C. Si sólo se ajusta un elemento cada vez, se tienen los siguientes lugares geométricos:

SERIE 1   R variable Im(Z) R crece XL   Re(Z)

2   XL variable Im(Z) XL crece   Re(Z) R

3   R variable Im(Z) Re(Z) XC R crece

4   XC variable Im(Z) R Re(Z) XC crece

PARALELO 5   G variable Im(Y) G crece BC Re(Y)

6   BC variable Im(Y) BC crece Re(Y) G

7   G variable Im(Y) Re(Y) G crece BL

8   BL variable Im(Y) G Re(Y) BL crece

5.6. LUGAR GEOMÉTRICO DE CURVAS Los puntos que caracterizan a la impedancia en una conexión serie es una recta. ¿Cuál será el lugar geométrico de la admitancia en una conexión serie? O también cuál será el lugar geométrico de la impedancia en una conexión paralelo?        

Im(Y) Re(Y) Y4 Z2 Z3 Z4 Y3 Z1 Y2 Plano Y Y1 Plano Z Si realizamos la inversión punto por punto del lugar geométrico de Z, se obtiene un conjunto de puntos que describen una curva (semicircunferencia) Como una recta puede considerarse como una circunferencia de radio infinito, entonces se puede decir: “LA INVERSIÓN DE CUALQUIER CIRCUNFERENCIA DA LUGAR A OTRA CIRCUNFERENCIA”

5.7. MÉTODO DE INVERSIÓN DE LUGARES GEOMÉTRICOS El siguiente es un método gráfico de inversión del lugar geométrico de curvas Planteo del problema     ALGORITMO DE SOLUCIÓN a El fasor a invertir se refleja en el eje real (fasor reflejado Z) Se dibuja una circunferencia de inversión de radio igual a la unidad, con centro en el origen de coordenadas b

Si la magnitud de Z es más grande que la circunferencia unitaria, se debe construir del final del fasor reflejado, dos tangentes al circulo unitario c Los puntos tangentes se unen mediante una recta que cortará al fasor reflejado en un punto, que nos determinará la magnitud del fasor invertido d Si la magnitud de Z es más pequeña que el radio del círculo unitario, se construye al final del fasor reflejado una perpendicular al mismo e La perpendicular corta a la circunferencia unitaria en dos puntos, sobre las que se construyen las tangentes correspondientes f El punto de corte de las dos tangentes cruzan sobre la prolongación del fasor reflejado. Este punto delimita la magnitud del fasor invertido g

|Z| > 1 Y Fasor Invertido Si se desea invertir varios fasores, las dimensiones de la circunferencia unitaria no debe variar h Im |Z| > 1 Z Y Fasor Invertido Re Y

Im |Z| < 1 Y Fasor Invertido Z Re Y

Circunferencia unitaria EJEMPLOS Inversión de una circunferencia que no pasa por el origen B Circunferencia unitaria C A B´ D A´

Inversión de una recta que no pasa por el origen Im A´ Re A Basta encontrar la inversa del punto A (punto más cercano). Su inversa resulta ser el punto más alejado

EJERCICIO: Hallar el lugar geométrico de Yab    

EJERCICIO: Hallar el lugar geométrico de Zab, si 0<ω<∞  

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA El comportamiento de una red puede ser expresado mediante una función que relacione la variable de salida (función de respuesta( con la variable de entrada (función de excitación)   Donde x(t) es la función de excitación y(t) es la función de respuesta Utilizando la transformada de Laplace y suponiendo condiciones iniciales nulas    

REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA En el dominio de la frecuencia y en el caso particular de s= jw, una función de transferencia es un número complejo.   donde     Estas funciones de transferencia pueden ser analizadas en el dominio de la frecuencia, y para ello se emplea el LUGAR DE BODE

LUGAR DE BODE Normalmente contiene dos gráficos De amplitud de la función de transferencia senoidal P(jω) en decibel en función de log ω o bien de ω 2) De la fase o argumento de P(j ω) en grados (o en radianes) en función de log(ω) o bien de ω El lugar de Bode a veces se lo conoce con el nombre de GRÁFICO LOGARÍTMICO de la función de transferencia

PROPIEDADES Los productos de la expresión P(jω) pasan a ser sumas, porque se trabajan con logaritmos La forma del lugar de Bode permite, para la mayoría de los sistemas de mando, representar aproximadamente la gráfica exacta de la función por medio de sus asíntotas    

REPRESENTACIÓN DE BODE PARA LA MAGNITUD Es la representación de la magnitud en dB contra log(ω) REPRESENTACIÓN DE BODE PARA EL ÁNGULO DE FASE Es la representación del ángulo de fase contra log(ω)

Hallar la función de transferencia VL/V = P(jω) EJEMPLO Hallar la función de transferencia VL/V = P(jω) Por divisor de voltajes     Si s= jω  

ω -∞ 90° 0,1 0,001 -60 89,9° 1,0 0,01 -40 89,4° 2,0 0,02 -33,98 88,8° 10 0,099 -20,04 84,3° 20 0,196 -14,15 78,7° 50 0,447 -6,99 63,4° 100 0,707 -3,01 45° 1000 0,995 -0,04 5,71° 10000 1

Existen algunos puntos críticos en las dos representaciones estudiadas GANANCIA CRÍTICA Es el punto en el que la curva de amplitud de P(j ω) corta al eje de cero decibel FASE CRÍTICA Es el punto en el que la CURVA DE FASE CORTA AL EJE DE 180°

EJEMPLO