Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería UNAM Ejercicio Mason México D.F. a 28 de Agosto de 2006

Diagrama de flujo de señales Es un diagrama que representa un conjunto de ecuaciones dinámicas simultaneas. Es una red en la que nodos están conectado mediante ramas, cada nodo representa una variable y cada rama una ganancia. La ventaja del diagrama de flujo de señales de Mason es la disponibilidad de una fórmula que proporciona la relación entre variables del sistema sin requerir ningún procedimiento de reducción. Definiciones: Nodo. Es un punto que representa una variable o señal. Rama. Un segmento lineal dirigido entre dos nodos. Transmitancia. Es la ganancia de un rama. Nodo de entrada (fuente). Es un nodo que solo tiene una rama saliente. Nodo salida (sumidero). Es un nodo que solo posee ramas entrantes. Nodo mixto. Es un nodo que tiene ramas tanto entrantes como salientes. Camino. Es un recorrido de ramas conectadas en la dirección de la flechas de las ramas. Si no atraviesa ningún nodo más de una vez el camino es abierto. Si el camino termina en el mismo nodo desde el que comenzó y no atraviesa ningún otro nodo más de un vez, es camino cerrado o lazo.

Figura 3. Diagrama de flujo de señal. Diagrama de flujo de señales Definiciones: Lazos que no se tocan. Son lazos que no poseen ningún nodo en común. Camino directo. Es un camino desde un nodo de entrada hasta un nodo de Salida que no atraviesa ningún nodo más de una vez. Nodo de entrada (fuente) Nodos mixtos Camino directo Camino directo Nodo de salida (sumidero) Nodo de entrada (fuente) Lazo Figura 3. Diagrama de flujo de señal.

Diagrama de flujo de señales Fórmula de ganancia de Mason donde es la ganancia global. es la ganancia del k-ésimo camino directo. es el determinante del diagrama = 1- (suma de todas las ganancias de lazos individuales)+(suma de los productos de las ganancias de todas las posibles combinaciones de dos lazos que no se tocan)-(suma de los productos de ganancias de todas las posibles combinaciones de tres lazos que no se tocan)+... Es el cofactor del k-ésimo camino directo. Se obtiene a partir de Eliminando los lazos que tocan el camino

Diagrama de flujo de señales Ejemplo: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado utilizando la fórmula de ganancia de Mason . - + + + - + Solución: La ganancia del camino directo es

Diagrama de flujo de señales Los lazos individuales son tres: El determinante es por lo tanto

Desarrollo en fracciones parciales Se utilizan fracciones parciales para descomponer alguna función complicada en fracciones más simples con transformadas inversa más sencillas Considere una función (F1) donde son cantidades reales o complejas. Si tiene solo polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones simples: (F2) donde son constantes. Cada elemento se llama residuo del polo . El valor de cada se obtiene multiplicando ambos lados de la ecuación (F2) por y evaluar para

Desarrollo en fracciones parciales Una vez obtenido cada elemento la transformada inversa de cada fracción, se obtiene de y la función en el tiempo queda:

Desarrollo en fracciones parciales Ejemplo 1: Hallar la transformada inversa de Laplace de Solución donde se obtienen de la siguiente manera

Figura 1. Diagrama de flujo de señal del ejemplo 2. Diagrama de flujo de señales Ejemplo 2: Obtener la función de transferencia en lazo cerrado utilizando la fórmula de ganancia de Mason . Figura 1. Diagrama de flujo de señal del ejemplo 2.

Diagrama de flujo de señales Caminos directos:

Diagrama de flujo de señales Caminos directos:

Diagrama de flujo de señales Lazos:

Diagrama de flujo de señales Lazos:

Diagrama de flujo de señales Combinaciones de 2 Lazos que no se tocan:

Diagrama de flujo de señales Combinaciones de 3 Lazos que no se tocan:

Diagrama de flujo de señales Resumen de ecuaciones: