3.8 Circuito RC en serie y sus aplicaciones Se llama circuito RC a la combinación en serie de un capacitor y un resistor. Dicho circuito puede representar cualquier conexión de resistores y capacitores cuyo equivalente sea un solo resistor en serie con un solo capacitor.

C a R Vc b VR ε Carga de un circuito En la figura se muestra un circuito RC conectado a una fuente de voltaje continuo ε. El interruptor tiene como objetivo cargar y descargar al capacitor C. a R Vc b VR + - ε C El proceso inicia cuando el interruptor se conecta a la posición “a” en el tiempo t=0 [s] y se considera que el capacitor se encuentra descargado. Aplicando ley de Kirchhoff a la malla.

C a R b ε i carga de un circuito En la figura se muestra un circuito RC conectado a una fuente de voltaje continuo. El interruptor tiene como objetivo cargar y descargar al capacitor, al cerrar el interruptor “a” a R b + - ε i C

LVK VC=0 t≤0 Ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes

Ecuación diferencial lineal no homogénea coeficientes constantes con solución homogénea (VCh) y particular (Vcp).

Sustituimos la constante C y aplicamos el antilogaritmo.

Solución Particular Debido a que el segundo miembro de la ecuación diferencial no homogénea es una constante, derivando la ecuación homogénea, la solución particular será del tipo: A = Constante

Solución completa Homogénea más la particular

Solución completa La carga del capacitor

Corriente eléctrica La corriente en función del tiempo es: Donde el término RC es la constante de tiempo en segundos.

Entonces las ecuaciones del voltaje y corriente del capacitor es:

Las gráficas de voltaje y corriente en función de la constante de tiempo (RC) Tau. Vc ic 0.5tc 0.394 0.607 tc 0.632 0.368 2tc 0.865 0.135 3tc 0.95 0.05 4tc 0.982 0.018 5tc 0.993 0.007 6tc 0.998 0.002

En las gráficas o en las ecuaciones, se observa que el capacitor, para cuando, se carga y adquiere el voltaje de la fuente ε. Para entonces ya no existe diferencia de potencial en las terminales del resistor, por lo que la corriente es cero, es decir, si

Para considerar que el capacitor se ha cargado, de acuerdo con las gráficas para el tiempo el capacitor prácticamente ya se cargo y la corriente es casi nula. Es decir, para se ha alcanzado el 98.2% del valor final del voltaje en el capacitor y se tiene el t = 4tc resulta el 1.8% de la corriente inicial en el circuito; es por ello que, para fines prácticos, se considera que para se han alcanzado las condiciones estables del circuito.

Descarga Si Después de cargado el capacitor hasta alcanzar una diferencia de potencial Vc=V0, se cambia el interruptor a la posición “b”, como se muestra en la siguiente figura, se obtendrá un circuito a través del cual se pueda descargar el capacitor, transformando su energía almacenada en energía en forma de calor en el resistor.

C VR b Vc i Circuito de descarga Se conecta ahora el interruptor en la posición b. VR b + - Vc i C

Circuito de descarga La solución de la última ecuación es

Circuito de descarga Condiciones iniciales

En la tabla siguiente se muestran los valores de la Circuito de descarga En la tabla siguiente se muestran los valores de la diferencia de potencial y de la corriente en el capacitor para diferentes valores de la constante de tiempo y considerando como condiciones iniciales t Vc Ic 0.5tc 0.607 -0.607 tc 0.368 -0.368 2tc 0.135 -0.135 3tc 0.05 -0.05 4tc 0.018 -0.018 5tc 0.007 -0.007 6tc 0.002 -0.002

Ejemplo Se tiene un circuito con una batería una resistencia de 50 Ω y un capacitor de 100. μF. El capacitor esta completamente descargado. ¿En cuánto tiempo se carga el capacitor al 90% de su carga máxima?

Ejemplo Si la resistencia del corazón se considera de R2 = 500 Ω, la Fem es de 3.7 V y el corazón late entre 60 y 100 latidos por minuto. No obstante debe estar preparado a latir a 180 latidos por minuto. R1 C Cuales serían los valores de R y C para usarse en un marcapasos. + - b R2 Corazón

Ejemplo Electrocardiograma.

Próxima sesión Tema 4 Magnetostática