Hoja 3.- Grafos

1.- Para cada una de las situaciones siguientes, explica cuáles son los objetos y la relación. Explica si dicha relación es o no simétrica y represéntala por el grafo adecuado. ¿Son transitivas? Es decir, ¿tiene sentido hablar de caminos? a) Tenemos siete ciudades a las que llamaremos A, B, C, D, E, F y G. Se han construido carreteras uniendo dichas ciudades según la siguiente tabla: *G **F **E **D **C **B *A GFEDCBA Los objetos son las ciudades. La relación es estar unidos por carretera Dicha relación es simétrica. La propiedad transitiva se corresponde con poder ir de una ciudad a otra pasando por algunas ciudades intermedias. El grafo sería: AB C D E F G

1.- Para cada una de las situaciones siguientes, explica cuáles son los objetos y la relación. Explica si dicha relación es o no simétrica y represéntala por el grafo adecuado. ¿Son transitivas? Es decir, ¿tiene sentido hablar de caminos? b) En una familia se van a analizar unas ciertas relaciones de parentesco. Se sabe que Juan es padre de Luis y Andrea. Luis es padre de Pepe, Antonio es padre de Juan y Rosario. Ramón es padre de Rosa. Los objetos son las personas. Las flechas indican que una persona es padre de otra Dicha relación no es simétrica. La propiedad transitiva se corresponde con ser descendiente de. El grafo sería: Juan Andrea Rosa Ramón Rosario Antonio Luis Pepe

1.- Para cada una de las situaciones siguientes, explica cuáles son los objetos y la relación. Explica si dicha relación es o no simétrica y represéntala por el grafo adecuado. ¿Son transitivas? Es decir, ¿tiene sentido hablar de caminos? c) En los divisores de 40 se considera la relación ser múltiplo de. Los objetos son los divisores de 40 = 2 · 2 · 2 · 5. Dichos divisores son: 1, 2, 5, 4, 10, 8, 20 y 40 Dicha relación no es simétrica. La relación es transitiva. El grafo sería:

1.- Para cada una de las situaciones siguientes, explica cuáles son los objetos y la relación. Explica si dicha relación es o no simétrica y represéntala por el grafo adecuado. ¿Son transitivas? Es decir, ¿tiene sentido hablar de caminos? c) En los divisores de 40 se considera la relación ser múltiplo de. Dado que es una relación de orden, podemos representarla también por su diagrama de Hasse

1.- Para cada una de las situaciones siguientes, explica cuáles son los objetos y la relación. Explica si dicha relación es o no simétrica y represéntala por el grafo adecuado. ¿Son transitivas? Es decir, ¿tiene sentido hablar de caminos? d) En una clase se ha sacado la siguiente lista de notas: Los objetos son las los alumnos, las flechas indican que se diferencian en menos de 1 punto Dicha relación es simétrica y reflexiva. La propiedad transitiva no tiene sentido El grafo sería: 8EDC 6DFR 5AFG 4.6SRT 7FTR 4.5AGT 6.4JFH Por algún motivo, nos interesa comparar exámenes que no se diferencian en más de un punto SRT FTR AGT JFH AFG DFR EDC

1.- Para cada una de las situaciones siguientes, explica cuáles son los objetos y la relación. Explica si dicha relación es o no simétrica y represéntala por el grafo adecuado. ¿Son transitivas? Es decir, ¿tiene sentido hablar de caminos? e) En las fichas de dominó, estamos interesados en poder colocarlas de forma consecutiva. Los objetos son las puntuaciones de 0 a 6. Las aristas son las fichas de dominó. Dicha relación es simétrica. La propiedad transitiva se corresponde con las partidas. Dos fichas son consecutivas cuando forman un camino de longitud 2.

1.- Para cada una de las situaciones siguientes, explica cuáles son los objetos y la relación. Explica si dicha relación es o no simétrica y represéntala por el grafo adecuado. ¿Son transitivas? Es decir, ¿tiene sentido hablar de caminos? e) En las fichas de dominó, estamos interesados en poder colocarlas de forma consecutiva. El grafo es: Nota: por simplificar el dibujo, no hemos dibujado las fichas dobles

1.- Para cada una de las situaciones siguientes, explica cuáles son los objetos y la relación. Explica si dicha relación es o no simétrica y represéntala por el grafo adecuado. ¿Son transitivas? Es decir, ¿tiene sentido hablar de caminos? f) A la hora de elaborar un horario de clases, queremos saber cuándo dos profesores pueden compartir asignatura. Los conocimientos de cada profesor son: Los objetos son las los profesores. Las flechas indican que conocen alguna asignatura en común Dicha relación es simétrica y reflexiva. La propiedad transitiva no tiene sentido *FL * * A1 * * * A2 * * * * A3 * * * A4 GR EL *FD EC RB AM A5

1.- Para cada una de las situaciones siguientes, explica cuáles son los objetos y la relación. Explica si dicha relación es o no simétrica y represéntala por el grafo adecuado. ¿Son transitivas? Es decir, ¿tiene sentido hablar de caminos? f) A la hora de elaborar un horario de clases, queremos saber cuándo dos profesores pueden compartir asignatura. Los conocimientos de cada profesor son: El grafo sería: *FL * * A1 * * * A2 * * * * A3 * * * A4 GR EL *FD EC RB AM A5 EL FD EC AM FL GR RB

2.- Pueden los 15 vértices de un grafo simple tener grado 5? Si existiese un grafo así, el número de aristas sería: ( …….+ 5) / 2 = 75 / 2 = 375 Lo cual es claramente absurdo

3.- ¿Cuántas aristas tiene un grafo cuyos vértices tienen los siguientes grados 4, 3, 3, 2, 2? Dibuja dicho grafo. Si existe un grafo así, el número de aristas será: ( ) / 2 = 14 / 2 = 7 Vamos a intentar dibujarlo (ponemos en cada vértice su grado) El vértice de grado 4 está unido a todos. Del primer vértice de grado 3 deben salir otras dos aristas Al segundo vértice de grado 3 le falta una arista Hemos terminado.

4.- Estudia si existe un grafo con 5 vértices y los siguientes grados. a) 3, 3, 3, 3, 2 Si existe un grafo así, el número de aristas será: ( ) / 2 = 14 / 2 = 7 Vamos a intentar dibujarlo (ponemos en cada vértice su grado) El vértice de grado 3 debe estar unido a otros 3. Del segundo vértice de grado 3 deben salir otras dos aristas Al tercer vértice de grado 3 le falta una arista Hemos terminado. Al cuarto vértice de grado 3 le falta una arista

4.- Estudia si existe un grafo con 5 vértices y los siguientes grados. b) 1, 2, 3, 4, 5 Si existe un grafo así, el número de aristas será: ( ) / 2 = 15 / 2 = 75 Lo cuál es claramente imposible

4.- Estudia si existe un grafo con 5 vértices y los siguientes grados. c) 1, 2, 3, 4, 4 Si existe un grafo así, el número de aristas será: ( ) / 2 = 14 / 2 = 7 Vamos a intentar dibujarlo (ponemos en cada vértice su grado) Los dos vértices de grado 4 deben estar unidos a todos los demás Pero entonces el último vértice no puede tener grado 1 Es imposible.

4.- Estudia si existe un grafo con 5 vértices y los siguientes grados. d) 3, 4, 3, 4, 3 Si existe un grafo así, el número de aristas será: ( ) / 2 = 17 / 2 = 85 Lo cuál es claramente imposible

4.- Estudia si existe un grafo con 5 vértices y los siguientes grados. e) 0, 1, 2, 2, 3 Si existe un grafo así, el número de aristas será: ( ) / 2 = 8 / 2 = 4 Vamos a intentar dibujarlo (ponemos en cada vértice su grado) El vértice de grado 3 debe estar unido a otros 3 y no puede estarlo al de grado 0. Del primer vértice de grado 2 debe salir otra arista Hemos terminado.

4.- Estudia si existe un grafo con 5 vértices y los siguientes grados. f) 1, 1, 1, 1, 1 Si existe un grafo así, el número de aristas será: ( ) / 2 = 5 / 2 = 25 Lo cuál es claramente imposible

5.- Dibuja los grafos (multigrafos, seudografos) asociados a las siguientes matrices abcd Es seudo porque hay elementos no nulos en la diagonal principal Es dirigido porque no es simétrica Es multigrafo porque hay elementos mayores que

5.- Dibuja los grafos (multigrafos, seudografos) asociados a las siguientes matrices abcd No es seudo porque no hay elementos no nulos en la diagonal principal No tiene por qué ser dirigido porque es simétrica No es multigrafo porque no hay elementos mayores que

5.- Dibuja los grafos (multigrafos, seudografos) asociados a las siguientes matrices abcd No es seudo porque no hay elementos no nulos en la diagonal principal No tiene por qué ser dirigido porque es simétrica Es multigrafo porque hay elementos mayores que

6.- Obtener la matriz de adyacencia para los siguientes grafos b c da 0101d 1011c 0101b 1110a dcba

abe fc d f e d c b a fedcba

abe fc d f e d c b a fedcba

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A DCB E Los dos grafos tienen 5 vértices. De ellos hay 2 de grado 1 y 3 de grado 2. Vamos a intentar establecer un isomorfismo Emparejamos A y 1 B es el único vérice unido a A. Le hacemos corresponder 2 porque es el único unido a 1 Por el mismo razonamiento emparejamos: C con 4D con 5E con 3 Es una simple comprobación que es un isomorfismo.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A DC B E Los dos grafos tienen 5 vértices, todos de grado 2. Vamos a intentar establecer un isomorfismo. Emparejamos A y 1. B y E son los dos vérices unidos a A. Les hacemos corresponder 3 y 4 porque son los dos unidos a 1 De los dos vértices que quedan, C está unido a B y D a E. Les hacemos corresponder 5 y 2 respectivamente. Es una simple comprobación que es un isomorfismo.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A DCB E Los dos grafos tienen 5 vértices. El grafo de la izquierda tiene 4 vértices de grado 3 y 1 de grado 2 El grafo de la derecha tiene 1 vértice de grado 4, 2 de grado 3 y 2 de grado 2. Por tanto no son isomorfos.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A 13524DCB E Los dos grafos tienen 5 vértices, 1 de grado 2, 2 de grado 3 y 2 de grado 4 Emparejamos C y 2. D y B son los dos vérices de grado 4 unidos a C. Les hacemos corresponder 5 y 3 porque son los dos de grado 4 unidos a 2. Finalmente a A y E les hacemos corresponder 1 y 4 respectivamente. Es una simple comprobación que es un isomorfismo.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A DCB E Los dos grafos tienen 5 vértices. El grafo de la izquierda tiene 4 vértices de grado 3 y 2 de grado 2 El grafo de la derecha tiene 4 vértice de grado 2, 2 de grado 3. Por tanto no son isomorfos. F 6

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A E DCB Los dos grafos tienen 10 vértices de grado 3. Buscamos un ciclo de longitud 5 en el grafo de la derecha. F 6GHIJ Cogemos 1 – 2 – 3 – 4 – 7 – 1

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A E DCB A1B2C3D4E7A1B2C3D4E7 F 6GHIJ Vamos a identificar ese ciclo con el pentágono exterior de la izquierda.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A E DCB Asociamos F con 6 F 6GHIJ En ambos grafos hay solamente un vértice que no hayamos escogido aún y que esté unido al vértice verde.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A E DCB Asociamos G con 9 F 6GHIJ En ambos grafos hay solamente un vértice que no hayamos escogido aún y que esté unido al vértice morado.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A E DCB Asociamos H con 8 F 6GHIJ En ambos grafos hay solamente un vértice que no hayamos escogido aún y que esté unido al vértice amarillo.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A E DCB Asociamos I con 5 F 6GHIJ En ambos grafos hay solamente un vértice que no hayamos escogido aún y que esté unido al vértice rojo.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A E DCB Es fácil comprobar ahora que hemos construido un isomorfismo. F 6GHIJ Finalmente asociamos J con 10.

7.- Determinar cuáles de los siguientes pares de grafos son isomorfos. A EDB C Los dos grafos tienen 10 vértices. En ambos casos hay 7 de grado 1, 1 de grado 3 y 2 de grado 4. Por tanto no son isomorfos. FGH I J Sin embargo, en el grafo de la izquierda los dos vértices de grado 4 están unidos entre sí. En el de la derecha no.

8.- Describe la fila y la columna en la matriz de adyacencia de un vértice aislado. Si un vértice está aislado, de él no sale (ni llega) ninguna arista Por tanto su fila (y columna) en la matriz de adyacencia constará solamente de 0's

9.- Estudia si es conexo y da el número de componentes conexas del siguiente grafo Es claro que no es conexo. Vamos a ir buscando sus componentes conexas. Empezamos por el primer vértice de la fila superior. Lo marcamos de color rojo y hacemos lo mismo con aquellos vértices unidos a él por algún camino.

9.- Estudia si es conexo y da el número de componentes conexas del siguiente grafo Cogemos el primer vértice azul y lo marcamos con un color no usado aún. Hacemos lo mismo con aquellos vértices unidos a él por algún camino.

9.- Estudia si es conexo y da el número de componentes conexas del siguiente grafo Cogemos el primer vértice azul y lo marcamos con un color no usado aún. Hacemos lo mismo con aquellos vértices unidos a él por algún camino.

9.- Estudia si es conexo y da el número de componentes conexas del siguiente grafo Cogemos el primer vértice azul y lo marcamos con un color no usado aún. Hacemos lo mismo con aquellos vértices unidos a él por algún camino.

9.- Estudia si es conexo y da el número de componentes conexas del siguiente grafo Cogemos el primer vértice azul y lo marcamos con un color no usado aún. Hacemos lo mismo con aquellos vértices unidos a él por algún camino.

9.- Estudia si es conexo y da el número de componentes conexas del siguiente grafo Cogemos el primer vértice azul y lo marcamos con un color no usado aún. Hacemos lo mismo con aquellos vértices unidos a él por algún camino.

9.- Estudia si es conexo y da el número de componentes conexas del siguiente grafo Cogemos el primer vértice azul y lo marcamos con un color no usado aún. Hacemos lo mismo con aquellos vértices unidos a él por algún camino.

9.- Estudia si es conexo y da el número de componentes conexas del siguiente grafo Ya hemos terminado. Nuestro grafo tenía 7 componentes conexas.

10.- Encuentra las aristas que son de conexión en los siguientes grafos A C D FBE Las aristas de conexión son aquellas que no forman parte de ningún ciclo. Este grafo no tiene aristas de conexión

10.- Encuentra las aristas que son de conexión en los siguientes grafos A B C F D E Las aristas de conexión son aquellas que no forman parte de ningún ciclo. En este grafo hay exactamente una arista de conexión A B C F D E

10.- Encuentra las aristas que son de conexión en los siguientes grafos A C D FBE Las aristas de conexión son aquellas que no forman parte de ningún ciclo. Este grafo tiene 6 aristas de conexión GIH A C D F B E GI H

11.- Se quiere duplicar los tramos de una red de comunicación que, en caso de deteriorarse imposibilitarían la comunicación entre ciertos puntos. ¿Cuáles son los tramos que deben duplicarse? A C D FBE Nos piden que calculemos las aristas de conexión. Este grafo tiene 2 aristas de conexión G A C D F B E G

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos A D BEC Nuestro grafo tiene 3 vértices pares (A, B y C) y dos impares. Por tanto tiene camino euleriano abierto.

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos A D BEC Añadimos un nuevo vértice y se lo añadimos uniéndolo a los vértices impares. F Nuestro grafo tendrá ahora un ciclo euleriano.

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos A D BEC Podemos observar que el grafo está formado por dos ciclos sin aristas comunes (el ciclo morado y el verde). F Empezamos por el punto F, recorremos el ciclo morado hasta llegar a E. F – E

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos A D BEC F – E – B – C – D – E – C – A – B – D – F F Ahora recorremos el ciclo verde hasta volver a E. Ahora termino de recorrer el ciclo morado: F – E – B – C – D – E

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos A D BEC E – B – C – D – E – C – A – B – D F Quitando el vértice F obtenemos el camino buscado

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos D El grafo tiene todos los vértices de grado par, por lo que tiene ciclo euleriano. FBC A E

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos D El grafo está formado por dos ciclos sin aristas comunes. FBC A E Elegimos un vértice común. Por ejemplo B.

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos D Partiendo de B recorremos el ciclo verde. FBC A E Ahora recorremos el ciclo rojo. B – E – D – C – B B – E – D – C – B – A – C – E – F – D – B Este es el ciclo euleriano.

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos F El grafo tiene dos vértices de grado impar (D y G), por lo que tiene camino abierto euleriano. ICD A GJE B H

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos F Añadimos un nuevo vértice y lo unimos a los dos vértices impares ICD A GJE B HK Este grafo tiene ciclo euleriano.

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos F Está formado por cuatro ciclos sin aristas en común (azul, marrón, negro y rojo). ICD A GJE B HK Observemos que todos ellos tienen como punto común a D.

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos F Recorro parte del ciclo rojo hasta llegar a D. ICD A GJE B HK K – D

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos F Ahora recorro el ciclo azul: ICD A GJE B HK K – D – B – E – H – J – G – I – F – C – A – D

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos F Ahora recorro el ciclo marrón: ICD A GJE B HK K – D – B – E – H – J – G – I – F – C – A – D – F – G – C – D

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos F Ahora recorro el ciclo negro: ICD A GJE B HK K – D – B – E – H – J – G – I – F – C – A – D – F – G – C – D – E – G – H – D

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos F Finalmente termino de recorrer el ciclo rojo: ICD A GJE B HK K – D – B – E – H – J – G – I – F – C – A – D – F – G – C – D – E – G – H – D – G – K

12.- Estudia si existe un camino o ciclo euleriano en cada uno de los siguientes grafos F Para terminar quito el vértice K. ICD A GJE B H D – B – E – H – J – G – I – F – C – A – D – F – G – C – D – E – G – H – D – G K