La transformada de Fourier.

Slides:



Advertisements
Presentaciones similares
Curso de Titulación Modelado y Análisis de Sistemas Eléctricos bajo Condiciones de Operación no Senoidales Facultad de Ingeniería Eléctrica Universidad.
Advertisements

Contenido 1. Funciones Periódicas 2. Serie trigonométrica de Fourier 3. Componente de directa, fundamental y armónicos 4. Ortogonalidad de las funciones.
Francisco Carlos Calderón
FACTORIZACIÓN LU Bachilleres:
EC. DIFERENCIAL Def: Se llama ecuación diferencial a una relación que contiene una o varias derivadas de una función no especificada “y” con respecto.
Valores y Vectores Propios
Procesamiento Digital de Señales (DSP)
La transformada de Fourier.
DERIVADA DE UNA FUNCION REAL
REPRESENTACION DE SEÑALES Y SISTEMAS
INTEGRACIÓN.
1.- Definiciones. 2.- Fórmulas. 3.- Esquema. 4.- Ejercicios.
La transformada de Laplace
Problemas de Valores en la Frontera en Coordenadas Rectangulares
Espacios de dimensión infinita
La Transformada de Laplace
1. La integral Gustavo Rocha
Transformada de Laplace
M.I. Ricardo Garibay Jiménez
Recursos matemáticos para física
CÁLCULO DIFERENCIAL.
La transformada de Laplace
Circunferencia. Presentado por: María del Rosario Ochoa Guerrero.
FUNCIONES DE VARIABLE REAL
Sistemas de Ecuaciones lineales
Repaso de Sistemas Lineales
Universidad Autónoma San Francisco
EXPONENTES Y RADICALES
TRANSFORMACIONES LINEALES PARA REDES NEURALES ARTIFICIALES
Calcular el cero del polinomio de orden 3 que pasa por los puntos
Señales Limitadas por Banda y Teorema de Muestreo
Calcular el equivalente Thevenin
TEMA 4 TRANSFORMADA DE LAPLACE
9. Series de Fourier (© Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)
La base {sen(klx), cos(klx)}: Series de Fourier
Transformada y Espectros de Fourier
Representación de Señales y Ruido por medio de Series Ortogonales
Digital Image Processing Chapter 4
Envolvente Compleja y Modulación
F(t) F(w) LA TRANSFORMADA DE FOURIER. Transformada de Fourier A la función F(  ) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es.
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS MATEMÁTICAS III.
Guías de ondas Medios de Transmisión Ignacio Flores Llamas.
Matrices Conceptos generales
Ecuaciones diferenciales de orden superior
Procesamiento Digital de Imágenes
La transformada de Fourier.
CONCEPTOS BÁSICOS DE MECÁNICA CUÁNTICA
TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER - DFT
CAPÌTULO 1 Vectores en el espacio
Funciones Ortgonales Hemos estudiado ya, en el cálculo infinitesimal, los vectores en el espacio de dos y tres dimensiones, y sabe que dos vectores no.
Procesamiento Digital de Imágenes
Procesamiento Digital de Imágenes
TEMA 2 CARACTERIZACIÓN FRECUENCIAL DE SEÑALES Y SISTEMAS
Fundamentos de Física Moderna Mecánica Cuántica
Ecuaciones Algebraicas
Repaso de Matemáticas (2) Repaso (y algo nuevo) de Mecánica Clásica
Modelos matemáticos del proceso de muestreo y retención
PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES
VECTORES RECTAS.
Análisis de Fourier.
Función de transferencia de procesos muestreados
EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
6. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
UNSa Sede Regional Oran TEU - TUP. Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio del álgebra lineal.álgebra lineal A los elementos.
TEMA 2 : ALGEBRA DE MATRICES.
Ing. Haydeli del Rosario Roa Lopez
TEMA 2 INTEGRAL DE RIEMANN.
TRANSFORMADAS DE FOURIER. K KK  ( x’-x ) =  ( x-x’ )
Profesora: Milagros Coraspe Realizado por: Almérida, Gissell C.I.: Valladares, Angélica C.I.: Universidad De Oriente Núcleo Monagas.
Transcripción de la presentación:

La transformada de Fourier

De la Serie de Fourier a la Transformada de Fourier La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones periódicas f(t). ¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener una representación en el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas? Consideremos la siguiente función periódica de periodo T:

Tren de pulsos de amplitud 1, ancho p y periodo T: f(t) t . . . -T -T/2 0 T/2 T . . . p -p/2 p/2

Los coeficientes de la serie compleja de Fourier en este caso resultan puramente reales: El espectro de frecuencia correspondiente lo obtenemos (en este caso) graficando cn contra w = nw0.

Espectro del tren de pulsos para p = 1, T = 2

Si el periodo del tren de pulsos aumenta... 1.5 p = 1, T = 2 1 f(t) 0.5 -20 -10 t 10 20 1.5 p = 1, T = 5 1 f(t) 0.5 -20 -10 t 10 20 -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p = 1, T = 10 t f(t) -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p = 1, T = 20 t f(t)

...el espectro se "densifica". -0.2 0.2 0.4 0.6 p = 1, T = 2 w=nw0 cn -50 50 -50 50 -0.1 0.1 0.2 0.3 p = 1, T = 5 -0.05 0.05 0.1 0.15 p = 1, T = 10 -50 50 -50 50 -0.02 0.02 0.04 0.06 p = 1, T = 20

En el límite cuando T, la función deja de ser periódica: ¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de Fourier? -20 -10 10 20 0.5 1 1.5 p = 1, T =  t f(t)

Si hace T muy grande (T), el espectro se vuelve "continuo":

El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la expresión de una función f(t) no periódica en el dominio de la frecuencia, no como una suma de armónicos de frecuencia nw0, sino como una función continua de la frecuencia w. Así, la serie: al cambiar la "variable discreta" nw0 (cuando T) por la variable continua w, se transforma en una integral de la siguiente manera:

Recordemos: La serie de Fourier es: -T/2< x < T/2 O bien: Cuando T , nw0  w y w0  dw y el sumatorio se convierte en:

La transformada de Fourier Es decir, donde: Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa. Identidad de Fourier o antitrans- formada de Fourier Transformada de Fourier

La transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier

Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F o , es decir En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F() se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F –1 ,es decir

Transformadas integrales K(,t): núcleo o kernel. Asocia a cada función f(t) en el espacio t, directo o real, otra función F() en el espacio  o recíproco. Ejemplos: de Fourier, Wavelet, transformada Z, de Laplace, de Hilbert, de Radon, etc

Relatively easy solution Un problema que es difícil de resolver en sus "coordenadas" (espacio t) originales, a menudo, es más sencillo de resolver al transformarlo a espacio . Después, la transformada inversa nos devuelve la solución en el espacio original. Problem in Transform space Relatively easy solution Solution in Transform space Integral transform Inverse transform Original problem Difficult solution Solution of original problem

Ejemplo. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente: Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es: -p/2 0 p/2 1 f(t) t

Integrando: Usando la fórmula de Euler:

p =1 En forma gráfica, la transformada es:

La función sinc(x) Sinc(x/2) es la transformada de Fourier de una función rectángulo. Sinc2(x/2) es la transformada de Fourier de una función triangulo. Sinc2(ax) es el patrón de difración de una ranura.

Demostrar que la transformada de Fourier de la función triángulo, D(t), es sinc2(w/2) 1 1 TF t w -1/2 1/2

¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)? Ejercicio: Calcular la Transformada de Fourier de la función escalón unitario o función de Heaviside, u(t): Grafica U(w) = F[u(t)]. ¿Qué rango de frecuencias contiene U(w)? ¿Cuál es la frecuencia predominante? u(t) 1 t

La función delta de Kronecker y delta de Dirac d(t)

La función impulso o delta de Dirac Podemos pensar en la función delta como el límite de una serie de funciones como la siguiente: fm(t) = m exp[-(mt)2]/√p d(t) f3(t) f2(t) f1(t) t

Propiedades de la función d t d(t)

Transformada de Fourier de la (t): d(t) w Observa que la transformada de Fourier de f(t) = 1 es: d(w) Recordemos t w

T ∞ T ∞

Transformada de Fourier de la función coseno cos(w0t) t w -w0 +w0

Transformada de Fourier de la función seno: sen(w0t) t w -w0 +w0

La transformada de Fourier de la onda plana exp(iw0 t) t Re Im F {exp(iw0t)} w w0 La TF de exp(iw0t) es una frecuencia pura.

F {exp(iw0t)} exp(iw0t) t Re Im TF w w0 Sum TF w

Encontrar la transformada de Fourier de la función:

La transformada de Fourier de una Gaussiana, exp(-at2), es ella misma. w TF

La transformada inversa de Fourier Dada la función en el espacio recíproco G(k), podemos retornar al espacio directo mediante la inversa de la transformada de Fourier:

Algunas funciones no poseen transformada de Fourier La condición de suficiencia para que la transformada de Fourier de f(x), F(w) exista es:   es decir, que f(x) sea de cuadrado sumable. Funciones que no vayan asintóticamente a cero cuando x tiende a +¥ y –¥ en general no tienen transformadas de Fourier.

La TF y su inversa son simétricas. Si la TF de f(t) es F(w), entonces la TF de F(t) es: Que podemos escribir: Renombrando la variable de integración de t a w’, podemos ver que llegamos a la TF inversa: Este el motivo por el que a menudo f y F se dice que son un "par transformado"

Fourier Transform Magnitude and Phase Como en el caso de cualquier complejo, podemos descomponer f(t) y F(w) en su magnitud y fase. f(t) puede escribirse como: f(t) = Mag{f(t)} exp[ -i Phase{f(t)}] donde Mag{f(t)}2 es a menudo llamada intensidad, I(t) y Phase{f(t)} es llamada fase, f(t). Análogamente: F(w) = Mag{F(w)} exp[ -i Phase{F(w)}] Mag{F(w)}2 se llama espectro, S(w) y Phase{F(w)} se llama el espectro de fase, j(w).

La transformada de Fourier es en general compleja La transformada de Fourier F(k) y la función originial f(x) son ambas en general complejas. De modo que la transformada de Fourier puede escribirse como:

La transformada de Fourier cuando f(x) es real La TF F(k) es particularmente simple cuando f(x) es real:

Propiedades de las transformadas de Fourier: 1. Linealidad:

La transformada de Fourier de la combinación lineal de dos funciones. f(t) F(w) t w g(t) G(w) t w F(w) + G(w) f(t) + g(t) t w

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función: La función f(t) se puede escribir también del siguiente modo:

Luego:

Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

Tenemos que calcular la transformada de Fourier de la siguiente función:

2. Escalado:

Efecto de la propiedad de escalado f(t) F(w) Efecto de la propiedad de escalado t w Pulso corto t w Mientra más corto es el pulso, más ancho es el espectro. Pulso medio t w Esta es la esencia del principio de incertidumbre en mecánica cuántica. Pulso largo

3. Traslación en el dominio de tiempos

4. : 5. :

5. Identidad de Parseval : En particular: Teorema de Rayleigh

Toda función puede escribirse como la suma de una función par y una función impar Sea f(x) una función cualquiera. E(-x) = E(x) E(x) O(x) O(-x) = -O(x) f(x)

Transformadas de Fourier de funciones pares, f(t) = f(-t):

Transformadas de Fourier de funciones impares, f(t) = -f(-t):

La transformada de Fourier respecto al espacio Si f(x) es función de la posición, x k k se conoce como frecuencia espacial. Todo lo expuesto sobre la transformada de Fourier entre los dominios t y  se aplica los dominios x y k.

Convolución Se define la integral de convolución de dos funciones f(t) y g(t) del siguiente modo:

Understanding of convolution with one dimensional functions enhances your understanding of more complex convolutions. Printing out this page and figuring out what is done here is recommended

Ejemplo visual: rect(x) * rect(x) = D(x)

Convolución con la función delta Convolucionar una función con una delta, simplemente centra la función sobre la delta.

Propiedades de la convolución Commutativa: Asociativa: Distributiva:

El teorema de convolución o teorema de Wiener-Khitchine Convolución en el espacio real es equivalente a multiplicación en el espacio recíproco.

Ejemplo del teorema de convolución

Demostremos el teorema de convolución.

Aplicando la TF a ambos lados:

Ejemplo de aplicación del teorema de convolución: Calcular la transformada de Fourier de la siguiente función: Podemos hacerlo aplicando la definición:

Pero, también podemos usar: TF TF

Calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de las siguientes funciones:

El producto de convolución de las funciones f(t) y g(t) es: es decir que el producto de convolución de f(t) y g(t) son dos funciones pulso de anchura a-b centradas en (a+b)/2 y -(a+b)/2 cuya gráfica es la siguiente:

y cuya transformada de Fourier calculamos en el ejercicio anterior:

Una forma alternativa para calcular la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es usar el teorema de convolución, según el cuál, la transformada de Fourier del producto de convolución de f(t) y g(t) es igual al producto de las transformadas de Fourier respectivas de f(t) y g(t):

Calculamos la transformada de Fourier de g(t):

que coincide con la transformada que habíamos calculado del otro modo.

Utilizar el teorema de convolución para calcular la antitransformada de Fourier de la siguiente función: Tenemos que calcular la antitransformada:

y, llamando: Antitransformada de Fourier nos queda que: Teorema de convolución

Por tanto, la integral de convolución de g(t) consigo misma queda: donde

Luego: