3. Determinar el número de raíces de la ecuación en el semiplano con Re(z) > 0. Im (z)‏ Respuesta. iR Se supone que: Re (z)‏ -iR

En el segmento [-iR,iR]: En el arco CR: Re(z) = x > 0 Para valores grandes de R que cumplen que R > λ + 1, se cumple que |g(z)| > |h(z)|

En el contorno Γ: |g(z)| > |h(z)| f y g tienen el mismo número de ceros en el semiplano Re(z) > 0 (R→∞) g tiene un cero en Re(z) > 0 λ – z – e-z = 0 tiene una raíz en Re(z) > 0

4. Obtener el número de raíces de la ecuación donde , en el círculo Examen SEPTIEMBRE 02/03: P-1

2. Determinar el número de ceros con sus multiplicidades que tiene el polinomio complejo en el disco anular

3. Obtener el número de ceros de la ecuación 3z4 + 7z3 – z + 2 = 0 en el interior del disco centrado en el origen y de radio unidad. Respuesta. Recurriendo al teorema de Rouché: f = 7z3 |f|<7 g = 3z4 – z + 2 |g|<6 |f| > |g| → nº de ceros de f = 3, es igual al nº de ceros de f + g. Por ello, la ecuación tiene en el disco 3 ceros.

Al recorrer la semicircunferencia CR con R → ∞: d) Determinar el número de ceros con sus multiplicidades y con parte real no negativa que tiene el polinomio complejo: Respuesta. Im (z)‏ iR Al recorrer la semicircunferencia CR con R → ∞: -iR

Parametrizando el segmento LR: z = it con t variando desde R a –R, se obtiene: Para dibujar aproximadamente esta curva en el plano w, buscamos los puntos más relevantes de la misma. Los cortes con los ejes son: - Eje real:

- Eje imaginario: v u La curva pasa por el origen, lo que se traduce en que P(z) tiene raíces imaginarias puras: t = ± 1 => z = ± i. Para aplicar el método de Nyquist el polinomio no puede tener ceros sobre el contorno, por lo que analizamos la existencia de raíces con parte real positiva del polinomio:

Al recorrer la semicircunferencia CR con R → ∞: Parametrizando el segmento LR: z = it con t variando desde R a –R, se obtiene:

Para dibujar aproximadamente esta curva en el plano w, buscamos los puntos más relevantes de la misma. - Los cortes con los ejes son: * Eje real: * Eje imaginario:

- Comportamiento en los extremos del segmento LR cuando * z = it con t → +∞: * z = it con t → -∞:

Dibujamos en el plano w el contorno resultante recorriéndolo desde t→∞ hasta t → -∞ y analizamos cómo varía el argumento: v u

Con todo: , luego el polinomio dado no tiene ninguna raíz con parte real positiva. En definitiva, P(z) tiene dos raíces en el eje imaginario (z = ±i) y ninguna que cumpla Re(z) > 0.