TEMA 4 LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER

ESQUEMA GENERAL

ESQUEMA GENERAL Sea la señal x(t), cuya Transformada de Fourier es X(f). Veamos un procedimiento numérico de evaluación de ésta, que será discreto, y nos dará una estimación del espectro en puntos discretos. Consideraremos las fuentes de error introducido en el proceso.

ESQUEMA GENERAL La primera fuente de error es el error de solapamiento (aliasing) que se produce al muestrear la señal en el tiempo. La segunda fuente de error es la que se produce al truncar la señal en el tiempo (leakage), que da lugar a cierto rizado en la característica espectral. De lo anterior se desprende la conveniencia de estudiar la DFT en el contexto de las señales periódicas.

REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS: LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS La señal  , al ser periódica, admite ser desarrollada en SERIES DE FOURIER

PARALELISMO CONTÍNUO-DISCRETO DEL DESARROLLO EN SERIES REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS: LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS PARALELISMO CONTÍNUO-DISCRETO DEL DESARROLLO EN SERIES

REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS PERIÓDICAS: LAS SERIES DE FOURIER DISCRETAS REPRESENTACIÓN EN DSF DE UNA SECUENCIA PERIÓDICA

PROPIEDADES DE LA DFS

PROPIEDADES DE LA DFS

CONVOLUCIÓN PERIÓDICA

CONVOLUCIÓN PERIÓDICA EJEMPLO DE CONVOLUCIÓN PERIÓDICA

MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z Hemos visto que los valores de X(k) en la representación del DSF de una secuencia periódica son idénticos a las muestras de la Transformada Z de un único periodo de x(n) en N puntos equiespaciados sobre el círculo unitario Consideremos ahora, de una forma mas general, la relación existente entre una secuencia aperiódica con Transformada Z  X(z) y la secuencia periódica para la cual sus coeficientes del DSF corresponden a muestras de X(z) equiespaciadas en ángulo alrededor del círculo unitario.

MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z Sea X(z) la Transformada Z de x(n), si evaluamos su transformada z en N puntos equiespaciados en ángulo, obtenemos la secuencia periódica: donde a la cual le corresponde la secuencia periódica dada por: sustituyendo los valores de   , obtenemos:

MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z intercambiando el orden del sumatorio: pero: por lo que:

Relación entre la duración M de una secuencia y el número de muestras N en el espectro. cuando N<M ocurre el efecto de aliasing. El subrayado indica una secuencia producida por DFT inversa:

MUESTREO EN LA TRANSFORMADA Z Si longitud [x(n)]<N entonces x(n) puede recuperarse extrayendo un periodo de  Una secuencia finita de duración menor o igual que N puede representarse exactamente por N muestras de su transformada Z sobre el círculo unidad. Por lo anterior, X(z) también podrá sintetizarse a partir de estas N muestras.

REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE DURACIÓN FINITA: LA DFT Los resultados anteriores sugieren dos puntos de vista orientados a la representación de Fourier de secuencias de duración finita: Representar una secuencia de duración finita N por una secuencia periódica de periodo N y considerar su representación como un periodo del DSF de la secuencia periódica. Representar una secuencia de duración finita N

REPRESENTACIÓN DE SECUENCIAS DE DURACIÓN FINITA: LA DFT IDFT:

PROPIEDADES DE LA DFT 1) Linealidad            x3(n)=ax1(n)+bx2(n) , X3(k)= aX1(k)+bX2(k) Si long[x1(n)]=N1 y long[x2(n)]=N2 entonces long[x3(n)]=max{N1,N2} 2) Periodicidad        x(n) y X(k) son periódicas con período N.

PROPIEDADES DE LA DFT 3) Simetría       Si x(n) <--->X(k) entonces x*(n) <--->X*(-k)= X*(N-k)   Para señales REALES:         x(n)=x*(n) y X(k)=X*(N-k)         Re[X(k)] es una función par         Im[X(k)] es una función impar         |X(k)| es una función par        Fase[X(k)] es una función impar

PROPIEDADES DE LA DFT 4) Desplazamiento Circular de una secuencia Sea x(n) <---> X(k), ¿Cuál será el x1(n) <---> X(k)e-j2pkm/N ? Interpretación de la DFT como un período de la DSF. Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento circular de x(n) ya que ambos están confinados en 0<n<N-1

PROPIEDADES DE LA DFT Luego x1(n) corresponderá a un desplazamiento circular de x(n) ya que ambos están confinados en 0<n<N-1

PROPIEDADES DE LA DFT 5) Convolución Circular Sean dos secuencias de longitud N x1(n) y x2(n) con DFTs X1(k) y X2(k). ¿Cuál será la x3(n) cuya DFT es X3(k)=X1(k)X2(k)?

PROPIEDADES DE LA DFT 5) Convolución Circular Es decir, x3(n) será un periodo de la convolución de las secuencias periódicas  , correspondientes a x1(n) y x2(n) respectivamente. x3(n)=x1(n)(~)x2(n) <---> X3(k)=X1(k)X2(k)

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT Convolución de dos secuencias finitas de igual número de puntos

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT Convolución de dos secuencias finitas de distinto número de puntos En general si : DFT’S sobre la base de puntos

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT Convolución de una secuencia finita con otra de un número indefinido de puntos

CONVOLUCION LINEAL USANDO LA DFT Convolución de una secuencia finita con otra de un número indefinido de puntos Método solapa y suma Método solapa y guarda

Método Solapa y Suma Convolución Lineal Long Cada Término de la sumatoria debe calcularse utilizando DFT de L+M–1 puntos

Método Solapa y Guarda Sean las secuencias causales y de duración finita x(n) e y(n) tales que: x(n)=0 n≥ 8 y(n)=0 n ≥ 20 Se multiplican las DFT de 20 puntos de cada una de ellas y se computa la IDFT que denotamos por z(n). Especificar que puntos en z(n) corresponden a los puntos que se habrían obtenido con la convolución lineal de x(n) e y(n)

Relación entre parámetros temporales y frecuenciales: T: periodo de muestreo N: nº de puntos td=NT: duración de la señal en el tiempo Δf: resolucón frecuencial Fh: frecuencia máxima de la señal

Relación entre parámetros temporales y frecuenciales: Límite superior del periodo de muestreo Según el teorema del muestreo: fs≥2fh T≤1/2fh Por otro lado: 2fh=NΔf N≥2fh/ Δf Δf=1/NT Nº mínimo de muestras requerido para calcular la DFT

Ejemplo: Dada una señal contínua con frecuencia máxima de 2KHz y siendo preciso calcular su espectro con la DFT con una resolución en frecuencias de 10 Hz, determinar Ts y N.

*** Δf=1/NT=1/(32*0,1); ΔΩ=1,9635 rad/seg Evaluación de la DFT de 64 puntos a partir de 32 muestras de la función exponencial e-t evaluada en t=0,1k para k=0,1,,,,31 Pi/T=31,416 *** Δf=1/NT=1/(32*0,1); ΔΩ=1,9635 rad/seg *·*·* Δf=1/NT=1/(64*0,1); ΔΩ=0.98175 rad/seg Observar que los últimos 32 puntos son los complejos conjugados de los 32 primeros, debido a la propiedad de simetria de la DFT para una señal real.

Las 32 muestras definen 4 periodos f=kΔf =k/NT K=4, 28

El nº de muestras no es múltiplo del periodo.

COMPUTACIÓN DE LA DFT DFT: IDFT: Caso general, x(n) COMPLEJO:

Operaciones complejas COMPUTACIÓN DE LA DFT TOTAL DE OPERACIONES Para cada X(k) Todos los X(k)   Productos Sumas Operaciones complejas N N-1 N2 N(N-1) Operaciones reales 4N 4N-2 4N2 N(4N-2)  

COMPUTACIÓN DE LA DFT Comparación del número de multiplicaciones requeridas por cálculo directo de DFT y por cálculo mediante el algoritmo FFT:

COMPUTACIÓN DE LA DFT PROPIEDAD DE SIMETRIA DE LOS : 

COMPUTACIÓN DE LA DFT Explicación intuitiva Secuencias reales:

COMPUTACIÓN DE LA DFT Explicación intuitiva Para N=8, Términos k Términos k+N/2

COMPUTACIÓN DE LA DFT Explicación intuitiva

COMPUTACIÓN DE LA DFT Explicación intuitiva

ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO Descomponen x(n) en subsecuencias sucesivamente más pequeñas Aprovechan la simetria y periodicidad de los Caso general, N=2v y v entero.

ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO Separando en n pares e impares: LLamando H(k) al primer sumatorio y G(k) al segundo obtenemos: X(k) = G(k) +  H(k)

ALGORITMOS FFT DE DECIMANCIÓN EN EL TIEMPO Realizando un proceso análogo de partición con G(k) y H(k) obtenemos: y así sucesivamente … En el caso general de N=2v se precisa de p=log2N etepas de computación como las comentadas.