Complex Systems and Number Theory

Teoría de números Muchos problemas abiertos son fáciles de formular, aunque las respuestas pueden ser extremadamente difíciles de encontrar [Guy]: (1) Conjetura de Golbach: todo número par es expresable como la suma de dos primos (primos de la forma p y p + 2) . (2) Existen infinitos primos gemelos. Fáciles de explorar mediante ordenador: Búsqueda de contraejemplos, estudio de distribuciones, récords, ...

Por su naturaleza, muchos de estos problemas se prestan a exploración numérica mediante ordenador. En muchos casos, encontrar un solo contraejemplo numérico permitiría determinar inmediatamente la falsedad de una conjetura. Eso ocurre incluso con la conjetura más famosa de las matemáticas: la hipótesis de Riemann. La existencia de un solo cero no trivial fuera de la línea crítica daría al traste con la hipótesis [ZerosRiemann].

Tradicionalmente la teoría de números ha sido territorio exclusivo de matemáticos, sin embargo, recientemente los físicos han comenzado ha mostrar interés en el área. En especial, con herramientas propias de la mecánica estadística y las ciencias de la complejidad se están proponiendo nuevos enfoques y alcanzando resultados interesantes [Numbers and Physics].

Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht, andere ist Menschenwerk. Todo es número. Pitágoras Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht, andere ist Menschenwerk. Leopold Kronecker Siempre pensé que la teoría de números es una ciencia experimental, y antaño, antes de la existencia de los ordenadores, Gauss, Ramanujan y muchos otros la consideraban así. Richard Guy

Phase transition in a stochastic prime number generator Phase transition in a stochastic prime number generator. Physical Review E 76, 010103 (R) (2007) Rapid Communication.   Bartolo Luque, Lucas Lacasa, and  Octavio Miramontes. Phase transition and computational complexity in a stochastic prime number generator. New Journal of Physics 10 (2008) 023009.    Lucas Lacasa, Bartolo Luque, and  Octavio Miramontes.

Number Theoretic Example of Scale-Free Topology Inducing Self-Organized Criticality. Physical Review Letters 101, 158702 (2008) . Bartolo Luque, Octavio Miramontes, and Lucas Lacasa.

The first digit frequencies of prime numbers and Riemann zeta zeros Proceedings of the Royal Society A (2009) 465, 2197–2216. Bartolo Luque and Lucas Lacasa.

Aliquot Sequences Sucesiones alícuotas o alicuatorias

s(n) is the sum of the proper divisors of n [Yan] . The function s(n) s(n) is the sum of the proper divisors of n [Yan] . (1 is a proper divisor of n and n isn't) Example: s(10) = 1 + 2 + 5 = 7.

Abundant numbers: s(n) > n, s(12) = 1+2+3+4+6 = 16. Deficient numbers: s(n) < n, s(22) = 1+2+11 = 14. Deficient and abundant numbers first described by Nichomachus (100 A. D.)

Perfect numbers: s(n) = n, s(6) = 1 + 2 + 3 = 6. The smallest perfect numbers are: 6, 28, 496, 8.128, 33.550.336. Today there are 43 perfect numbers known. (Se desconoce si existen números perfectos impares). Abundantes: s(n) > n, s(12) = 1+2+3+4+6 = 16. Defectuosos: s(n) < n, s(22) = 1+2+11 = 14.

The smallest perfect numbers are: 6: known to the Greeks 28: known to the Greeks 496: known to the Greeks 8.128: known to the Greeks 33.550.336: recorded in medieval manuscript 8.589.869.056: Cataldi found in 1588 137.438.691.328: Cataldi found in 1588 Sequence A000396 in OEIS

Se desconoce si hay infinitos números perfectos e, incluso, si existen números perfectos impares, probablemente el problema irresuelto más antiguo de la Matemática.

Una fórmula para calcular s(n) Ejemplo:

Números amigos Parejas de números (n, m) tq.: s(n) = s(m) Pythagoras said true friendship is comparable to the numbers 220 and 284 - this is the smallest amicable pair: s(220) = 284 and s(284) = 220. 220 & 284: known to the Greeks 1184 & 1210: discovered by Paganini at age 16 in 1866 17.163 & 18.416: discovered by Fermat in 1636 9.363.584 & 9.437.056: discovered by Descartes in 1638 Fact: Over 1000 pairs of friendly numbers are now known! Pedersen counted more than 10.410.218 (on December, 29th, 2005) (Se desconoce si existen infinitos pares de amigos).

Ciclos o números pandilla Some cycles are of higher order (so called sociable numbers).  Cycles with 4, 5, 6, 8, 9 and 28 members are known. Other orders are possible, too. Today (May 2006) we know 146 aliquot cycles with higher order.  There are: 138 cycles of the order 4, 3 of the order 6, 2 of the order 8, 1 of the order 5, 9 and 28.

Números intocables de Erdös n tales que n  s(m) para todo m. Por ejemplo 2 y 5. Equivalente a "jardines del edén". En 1973 Erdös demostró que existen infinitos.

Aliquot Sequences An aliquot sequence is a sequence of integers, Sucesiones de sumas alícuotas o sucesiones alicuatorias. An aliquot sequence is a sequence of integers, built with the sigma function (n) . (n) is the sum of divisors of an integer n (include 1 and n). Ejemplo: (10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 17. s(n) is the sum of the proper divisors is:  s(n) = (n) - n (s(n) es la suma de las partes alícuotas de n). Ejemplo: s(10) = 1 + 2 + 5 = 7.

Aliquot Sequences s(n), s(s(n)), s(s(s(n))) and so on. Sucesiones alicuatorias Iterate: s(n), s(s(n)), s(s(s(n))) and so on. Por ejemplo: s(12) = 16, s(16) = 15, s(15) = 9, s(9) = 4, s(4) = 3, s(3) = 1, s(1) = 1, s(1) = 1, ... La sucesión alicuatoria que comienza en 12 es por tanto: 12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 1, ...

"Las sucesiones alícuotas siguen intrigando a los matemáticos y apasionando a los amateurs después de 2000 años". Les inattendus mathématiques Jean-Paul Delahaye log10 s(n) To get a general idea a graphic presentation of an aliquot sequence is helpful using a semi logarithm axis, i.e. a linear x-axis beginning with 0 for the index number of the sequence and the y-axis on a scale of decadic logarithm for the sum of the proper divisors.  So there is a function f: N(n) -> log10 s(n). iteration

There are three types of aliquot sequences: (1) Terminating sequence Normally the end of an aliquot sequence is a prime and 1. Or end in a perfect number. log10 s(n) iteration

Ending in an amicable pair (2620-2924) (2) Aliquot cycle Ending in an amicable pair (2620-2924)

Sociable numbers (Ciclos o números pandilla) Some cycles are of higher order (so called sociable numbers).  Cycles with 4, 5, 6, 8, 9 and 28 members are known. Other orders are possible, too. Today (May 2006) we know 146 aliquot cycles with higher order.  Ending in an aliquot 4-cycle Ending in the aliquot 28-cycle

Catalan Conjecture This was first published by the Belgian mathematician Eugène Catalan in the year 1887-88. Leonard Eugene Dickson extended in 1913 the so called Catalan conjecture: "Each aliquot sequence ends in one, in a perfect number or in an aliquot cycle". Up to now it is not possible to certify the Catalan conjecture. Each confluence of two sequences gives some more hope, but it's no proof of the conjecture, it's only some work on the way to possible solution. Eugène Catalan

(3) open-end sequence 276 Several sequences are not computed up to their end. They are increasing and no one knows if they will end or not. The smallest start-up number (or key-number, beginning number) of such a so-called open-end sequence is 276.

Hay una conjetura opuesta a la de Catalan que dice que toda sucesión alícuota que comienza en un número par va al infinito, excepto un número finito de casos excepcionales... H. Lenstra demostró que para todo entero k puede construirse una sucesión alícuota creciente de k pasos.

OE-sequence with deep minimum There are 5 open-end sequences in the interval [1, 1000] with the key numbers 276, 552, 564, 660 and 966.   There are 80 open-end-sequences in the interval [1, 104]. There are now 911 open-end sequences in [1, 105] and  9472 open-end-sequences in [1,106]. Any progress in calculation can reduce these numbers. OE-sequence with deep minimum

La primera secuencia para la que se tuvo dudas sobre su finalización comenzaba con n = 138. Fue el matemático D. H. Lehmer quien encontró que s177(138) = 1. Para números n < 1000, Lehmer no fue capaz de encontrar el final de las secuencias que comenzaban por 276, 552, 564, 660, 840 y 966. Más tarde A. Guy y R. K. Guy encontraron que s747(840) = 1. La existencia de final para el resto de los cinco números (the “Lehmer five”), a pesar del gran esfuerzo computacional que se ha dedicado (se han alcanzado valores mayores que 10132 a lo largo de las sucesiones), es desconocida todavía.

En la literatura las secuencias para las que se desconoce su final se denominan open-end sequences y sus números iniciadores, key numbers. Así, el key-number más pequeño que genera una open-end sequence es 276. De manera similar a las “Lehmer five”, las secuencias dudosas que comienzan en el intervalo [1000, 2000] se conocen como secuencias de Godwin y en este momento son 12 (“Godwin twelve”). En la tabla 1 se recogen las open-end sequences conocidas hasta el momento, clasificadas por el intervalo al que pertenecen sus key numbers y los límites de computación de escrutinio que se han alcanzado hasta el momento.

number of OE- sequences interval number of OE- sequences limits of computation   [1, 1000]       5 > 10^132 [1, 10000]     80 > 10^110 [1, 50000]   444 > 10^100 (50000, 10^5]      467 [1, 100000]   911 (100000, 200000]   974 > 10^80 (200000, 300000]   936 > 10^80 / 10^90 (300000, 400000]   877 (400000, 500000]   917 (500000, 600000]   971 (600000, 700000]   958 (700000, 800000]   961 (800000, 900000]   982 (900000, 10^6]   985 detailed table [1, 10^6]  

Si la conjetura de Catalan-Dickson es cierta, computaciones posteriores irán reduciendo el número de open-end-sequences al encontrar que terminan en puntos fijos o ciclos. El problema está en lo enorme que pueden llegar a ser los números intermedios que se necesitan factorizar para alcanzar el fin de la secuencia. Por ejemplo, recientemente Benito et al. [Benito1] establecieron un nuevo récord al demostrar que el key number 3630 termina en 1, s2642(3630) = 1, después de alcanzar un máximo s1263(3630) con ¡100 dígitos!

Normally an aliquot sequence ends in a prime. Different sequences can come together and end in the same prime. All these side sequences are called a prime family. New calculations occasionally lead to a confluence of two former different aliquot sequences into one family. About 1% of all integers are beginning numbers (key numbers) of an open-end sequence. This is an empirical result. http://www.aliquot.de/aliquote.htm http://www.aliquot.de/index.htm

Tipos de sucesiones (1) La sucesión termina en 1 (siendo el número anterior un primo). (2) La sucesión llega a un número perfecto (y permanece constante). (3) Llega a un par amigo o a un ciclo. (4) No está acotada (¿?).

Algunos matemáticos no están de acuerdo con la conjetura de Catalan-Dickson y piensan que existen sucesiones alicuatoarias no acotadas. Una conjetura alternativa se debe a Guy y Selfridge [Guy-Self] y dice que existen muchas secuencias que van al infinito, de hecho casi todas las que empiezan por un número par.

Sequence = Aliquot chain 69 27 Podemos reinterpretar las sucesiones alicuatorias como cadenas dirigidas... 13 1

Aliquot network Pero, ¿añade algo nuevo ver la cuestión 69 93 27 35 Estudio de las propiedades de la red: Distribución de conectividad Clustering Distancia media dependiente del tamaño etc 13 Pero, ¿añade algo nuevo ver la cuestión en forma de red? 1

Aliquot network

Un voluntario para dibujar el grafo de los 100 primeros números

No puede haber cambio de paridad entre n y s(n) excepto si n es un cuadrado (n = a2) o el doble de un cuadrado (n = 2a2) (pero estos números se "rarifican" a medida que n crece).

Jean-Luc Garambois conjecture (por argumentos heurísticos) que la media de s(n)/n converge a (π2 − 6) / 6 = 0.644934... Resultado a favor de la conjetura de Catalan porque en media es menor que 1. Pero s(n)/n tiende a 1,055307 si lo hacemos para los n pares hasta 10.000 y a 0,2337 para los n impares hasta 10.000...

Jean-Luc Garambois ha demostrado que todos los antecedentes m, s(m) = n, son inferiores a Estadísticamente los antecedentes aumentan con n si n es impar y son pequeños si n es par.