MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Interés y Tasas de Interés Alvaro Hernán Sarria

Interés y Tasas de interés Definición El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero, es decir, el importe del alquiler del dinero. Como importe de alquiler que es, el interés debe referirse a períodos de tiempo y según el capital comprometido. La expresión porcentual del interés se denomina TASA DE INTERES.

Modalidades de Interés Cuando los intereses se acumulan dan lugar a dos modalidades de acumulación: Interés Simple – los intereses se acumulan en una cuenta aparte. Interés Compuesto – los intereses se acumulan en la misma cuenta del capital, es decir, son objeto de generar más intereses una vez capitalizados. El interés compuesto capitaliza los intereses mientras que el simple no lo hace.

Interés Simple MesCapital Inicial ($) Intereses generados ($) Capital final ($) Intereses acumulados ($) 1100,000,0002,000,000100,000,0002,000, ,000,0002,000,000100,000,0004,000, ,000,0002,000,000100,000,0006,000, ,000,0002,000,000100,000,0008,000, ,000,0002,000,000100,000,00010,000, ,000,0002,000,000100,000,00012,000,000 Final en cuentas100,000,00012,000,000 Total por cancelar112,000,000 C apital principal =$100,000,000 Tiempo =6 meses Tasa de interés =2% mensual

Interés Compuesto MesCapital Inicial ($) Intereses generados ($) Capital final ($) Intereses acumulados ($) 1100,000,0002,000,000102,000, ,040,000104,040, ,080,800106,120, ,122,416108,243, ,164,864110,408, ,208,162112,616,242 Total por cancelar112,616,242 C apital principal =$100,000,000 Tiempo =6 meses Tasa de interés =2% mensual

Interés Simple - Fórmulas Monto de Intereses I = P * i * t donde: I:Monto de interés ($) P:Monto de capital principal ($) i:Tasa de interés por período (%) t: Número de períodos (días, meses, años, etc.)

Ejemplo: Calcular el monto de interés que paga un préstamo de $500,000 al 1.5% mensual por 18 meses: Capital:$500,000 Tasa de interés:1.5% = Tiempo:18 meses I = $500,000 * * 18 = $135,000 Interés Simple - Fórmulas

Relación entre valor presente y valor futuro VF = P + I VF = P + P*i*t = P (1 + i * t) Ejemplo: Calcular el valor a pagar en 18 meses cuando se cumpla un préstamo por $500,000 al 1.5% mensual simple. I = $500,000 * * 18 = $135,000 VF = $500,000 + $135,000 = $635,000 o VF = $500,000 * ( * 18) = $635,000 Interés Simple - Fórmulas

Relación entre valor presente y valor futuro VP = F / (1 + i * t) Ejemplo: Calcular el valor presente de una deuda que debe cancelar $3,000,000 dentro de 18 meses si el interés pactado es del 3% mensual: VP = $3,000,000 / ( * 18) = $1,948,052 Interés Simple - Fórmulas

Cálculo de Tasa de Interés i = (VF/P -1)/t Ejemplo: Calcule la tasa de interés mensual que se aplica a un préstamo de $1,948,052 que cancela $3,000,000 a los 18 meses: i = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/18 = 0.03 = 3% mensual Interés Simple - Fórmulas

Cálculo de Tiempo t = (VF/P -1)/i Ejemplo: Calcule el tiempo necesario para que una deuda de $1,948,052 de convierta en $3,000,000 al 3% mensual: t = ($3,000,000/ $1,948,052 – 1)/0.03 = 18 meses Interés Simple - Fórmulas

Equivalencia de tasas: Tasa nominal o anual (i n ) = i p *n Donde n el número de períodos en un año. Igualmente, Tasa periódica (i p ) = i n /n Interés Simple - Fórmulas

Relación entre valor presente y valor futuro Interés Compuesto PeríodoCapital al inicio del período Interés del período Capital al final del período 1PP*iP + P*i = P(1+i) 2P(1+i)P(1+i)iP(1+i)+P(1+i)i=P(1+i)(1+i)=P(1+i) 2 3P(1+i) 2 P(1+i) 2 iP(1+i) 2 +P(1+i) 2 i=P(1+i) 2 (1+i)=P(1+i) 3 * * nP(1+i) n-1 P(1+i) n-1 iP(1+i) n-1 +P(1+i) n-1 i = P(1+i) n-1 (1+i) = P(1+i) n VF n = P(1+i) n

Ejemplo: Un depósito de $5,000,000 se mantiene por cuatro años en una fiducia que capitaliza intereses y ofrece una tasa de interés del 1.5% mensual. ¿Cuánto se retira al final de los cuatro años? VF = $5,000,000*( ) 4*12 VF = $10,217,391 Interés Compuesto

Similarmente: VP = F / (1 + i) n Ejemplo: ¿Cuánto debo invertir en la misma fiducia anterior si quiero retirar $1,000,000 en 12 meses (i=1.5% mes)? VP=$1,000,000/(1.015) 12 =$836, Interés Compuesto

Similarmente, despejando para i i = (F / P) 1/n – 1 Ejemplo: ¿Qué tasa de interés mensual triplica una inversión en un año? i = (3P / P) 1/12 – 1 = 3 1/12 – 1 = = 9.59% mensual Interés Compuesto

Finalmente despejando para n n = log(F / P) / log(1 + i) Ejemplo: ¿En cuanto tiempo se triplica una inversión al 3% mensual? n = log(3P/P) / log(1+0.03) = log(3)/log(1.03) = meses Interés Compuesto

Flujos de Fondos Múltiples Hasta ahora hemos trabajado solamente con un flujo de fondos. En la vida real generalmente son flujos múltiples: FF n FF 1 FF 2 FF n FF 3 FF 4

Interés Compuesto Flujos de Fondos Múltiples Cálculo de valor presente: VP 01234n FF 1 FF 2 FF n FF 3 FF 4

Interés Compuesto Flujos de Fondos Múltiples Cálculo de valor futuro: 01234n FF 1 FF 2 VF FF 3 FF 4

Ejemplo Flujos Múltiples: Un padre requiere pagar las cuotas universitarias de sus hijos en Enero, Marzo y Abril (último día del mes) por valor de $5, $7 y $12 millones respectivamente. El 31 de Diciembre recibe la prima y quiere saber cuanto debe ahorrar de ella para poder cubrir las cuotas si su inversión renta 2.5% mensual? Interés Compuesto VP VP = $22.25 MM

Ejemplo Flujos Múltiples: Un pobre empleado puede ahorrar $30, $40, $50 y $50 millones en uno, dos, tres, cuatro meses respectivamente para un viaje al exterior que tiene planeado dentro de un año. Si la inversión le da el 3% mensual, cuánto tendrá para su viaje? Interés Compuesto VF VF = $ MM

Como caso especial de lo anterior que pasa cuando los flujos son todos iguales: Interés Compuesto VP 0123…n-1n AAAAAA

Interés Compuesto

Despejando de la ecuación anterior podemos encontrar la formula para A (alicuota) para futuros, como VF n =P(1+i) n Interés Compuesto

Si usted compra un automóvil de $40,000,000 con una cuota inicial del 20%, con el saldo a 60 meses al 1% mensual, cuál es el monto de las cuotas mensuales? P = $40,000,000 menos la cuota inicial = $32,000,000 i = 1% mensual n = 60 meses A (cuota) = Interés Compuesto

Si ahorra mensualmente $700,000 en una corporación que le ofrece un rendimiento mensual del 0.7%, cuánto tendrá en dos años? A = $700,000 i = 0.7% mensual n = 24 meses F = A((1+i) n – 1)/i = Interés Compuesto

Estudiemos ahora el caso cuando los flujos aumentan en un porcentaje cada período. Se le llama gradiente geométrico. Interés Compuesto n B B(1+j) b(1+j) 2 b(1+j) 3 b(1+j) 4 b(1+j) n-1

Interés Compuesto

Ejemplo: Calcular el valor del préstamo cuya primera cuota es de $100,000 que aumenta en un 1% mensual y que tiene como tasa de interés 2% mensual a 12 meses. B = 100,000; i = 0.02; j = 0.01; n = 12 VP = B/(j-i) * {[(1+j)/(1+i)] n -1} VP = 100,000/( )*{[(1+0.01)/(1+0.02)] n -1} VP = $1,115,062 Interés Compuesto

En el caso de proyectos que no tienen caducidad, el tiempo podría ser infinito por lo cual se requiere saber el valor presente de una serie infinita de flujos. En principio supongamos que dichos flujos son iguales: Interés Compuesto

¿Cuál es el valor presente del costo de mantenimiento y actualización ($4,000,000 anuales) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usará indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual? VP = A/i = $4,000,000 / 0.15 = $26,666,667 Interés Compuesto

Igualmente, se puede aplicar la teoría a gradientes geométricos infinitos. Interés Compuesto

Igualmente, se puede aplicar la teoría a gradientes geométricos infinitos. Interés Compuesto

¿Cuál es el valor presente del costo de mantenimiento ($4,000,000 anuales que sube con el IPC anualmente) que cobra una empresa de desarrollo por un aplicativo a su cliente suponiendo que el cliente lo usará indefinidamente y que el costo de oportunidad de la empresa es del 15% anual? Suponga un IPC del 4,5%. VP = B/(i-j) = $4,000,000 / ( ) = $38,095,238 Interés Compuesto

Plazo Muerto Periodo en el cual no se hacen pagos ni se contabilizan intereses pero si se toma en cuenta el tiempo transcurrido del plazo muerto dentro del plazo total del préstamo. Interés Compuesto

Periodo de Gracia Período en el cual no se hacen pagos pero sí se contabilizan intereses. Igualmente el tiempo transcurrido de gracia cuenta en el tiempo total. Interés Compuesto

Amortización Fórmulas: INT t = SI t * i AB t = C t – INT t SF t = SI t – AB t SI t+1 = SF t donde: INT t = Monto de los intereses del período t AB t = Abono a capital período t C t = Monto de pago o cuota período t SI t = Saldo inicial del período t SF t = Saldo final del período t i = Tasa de interés a aplicar en cada período

Ejemplo en Excel (alicuota): Amortización P100,000,000 i30% n5 PeriodoSaldo iniinteresescapitalcuotasaldo fin 1100,000,00030,000,00011,058,15541,058,15588,941, ,682,55414,375,60141,058,15574,566, ,369,87318,688,28241,058,15555,877, ,763,38924,294,76641,058,15531,583, ,474,95931,583,19641,058,1550

Ejemplo en Excel (gradiente geométrico): Amortización P100,000,000 i30% j10% n5 PeriodoSaldo iniinteresescapitalcuotasaldo fin 1100,000,00030,000,0005,320,53535,320,53594,679, ,403,83910,448,75038,852,58984,230, ,269,21517,468,63342,737,84866,762, ,028,62526,983,00847,011,63339,779, ,933,72239,779,07451,712,7960

Tasas de interés

Denominaciones de la Tasa de Interés Según como proponga la información de los períodos de tiempo: Periódica – corresponde al periodo de composición (día, mes, trimestre, etc.) Nominal – la expresión anualizada de la tasa periódica, es decir, la tasa periódica multiplicada por el número de períodos al año Efectiva – la expresión equivalente a una tasa periódica pero con período igual a un año

Denominaciones de la Tasa de Interés Según la causación: Anticipada – cuando el interés se causa en forma anticipada en el período. Vencida - cuando el interés se causa en forma vencida en el período. La tasa efectiva solamente se expresa como vencida.

Ejemplos de Tasas de Interés Tasa periódica: 2% m.v. 2% mes vencido, es decir, paga de interés el 2% del valor prestado al final de cada mes. 3% t.a. 3% trimestre anticipado, es decir, paga anticipadamente el 3% del valor prestado cada tres meses empezando desde el mes cero.

Ejemplos de Tasas de Interés Tasa nominal: 24% a.m.v. 24% anual compuesto mensualmente causado al final del mes, es decir, equivalente al 2% m.v. de la página anterior (2%*12) 12% a.t.a. 12% anual compuesto trimestralmente con pago anticipado, equivalente al 3% t.a. anterior (3%*4).

Ejemplos de Tasas de Interés Tasa efectiva: Fórmulas de conversión de tasas periódicas y nominales a efectivas: de periódica anticipada a periódica vencida: i pv = i pa /(1-i pa ) de periódica vencida a periódica anticipada: i pa = i pv /(1+i pv ) de periódica vencida a efectiva: i e = (1 + i pv ) n – 1 de efectiva a periódica vencida: i pv = (1 + i e ) 1/n – 1

Ruta de Equivalencia de Tasas m periodos por añoñ periodos por año i nv i pv i e i pv i nv i na i pa i pa i na i pv =i pa /(1-i pa ) i pa =i pv /(1+i pv ) i pa =i na /m i nv =i pv *ñ i na =i pa *ñ i e =(1+i pv ) m -1i pv =(1+i e ) 1/ñ -1 i pv =i nv /m

Ejemplos de Tasas de Interés Tasa efectiva: 24% a.m.v. = 24% / 12 m.v. = 2% m.v. = (1 + 2%) e.a. = (1.02) 12 – 1 = = 26.82% e.a. 12% a.t.a. = 12% / 4 t.a. = 3% t.a. = 3% / (1 – 3%) t.v. = 0.03/0.97 t.v. = t.v. = 3.09% t.v. = ( %) 4 -1 e.a. = (1.0309) 4 – 1 e.a. = e.a. = 12.96% e.a.

Tasa real Tasa de interés sobre moneda constante, es decir, libre del efecto de la inflación. Fórmula: i R = (1 + i e ) / (1 + i f ) - 1 Ejemplo 1: 20% e.a. con inflación del 5% e.a. Tasa real = (1 + 20%)/(1 + 5%) -1 = 14.29% e.a.

Tasa real Ejemplo 2 Hoy Tengo : $10,000 Precio panela : $100 Puedo comprar : 100 panelas Inflación = 5% e.a. Tasa inversión = 20% e.a. En un año Tengo : $10,000*(1+20%)=$12,000 Precio panela : $100*(1+5%)=$105 Puedo comprar : $12,000 / $105 = panelas

Tasas Mixtas Una tasa es mixta cuando se declara como la suma de dos tasas, generalmente una variable o de referencia y una fija. Las dos tasas deben referirse al mismo período antes de sumarse. Normalmente se acepta como guía la declaración de la fija a menos que ésta no se defina y en ese caso se toma la declarada por la variable.

Ejemplo: DTF + 5% a.t.v. (si el DTF está en 7% ea) 1)Pasar la DTF a a.t.v. 7% e.a. -> (1+7%) (1/4) -1 t.v.=1.706% t.v.=6.823% a.t.v. 2)Sumar las tasas 6.823% + 5% = % a.t.v. 3)Pasar la tasa a efectiva anual para comparación: % a.t.v. -> 2.956% t.v. -> ( %) 4 -1 e.a. = % e.a. Otras tasas de referencia: Libor, Prime rate Tasas Mixtas

Tasas Compuestas Cuando la tasa se define entre dos o más tasas y una de ellas se declara sobre una base monetaria diferente a la base de declaración de la tasa original. Fórmula: i = (1 + i u )(1 + i c ) - 1 Ejemplo 1: Inversión que gana 9% e.a. en dólares – tasa equivalente en pesos si la devaluación es del -2% e.a. i = (1 + 9%)(1 – 2%) – 1 = 6.82% e.a.

Tasas Compuestas Ejemplo 2: Hoy: Tengo : $100,000,000 COP TRM : $2,500 COP/USD Compro: $40,000 USD Tasa inversión USD : 9% e.a. Devaluación : -2% e.a. En un año: Tengo : $40,000*(1+9%) = $43,600 USD TRM: $2,500*(1-2%) = $2,450 COP/USD Compro : $43,600*2,450 = $106,820,000 COP Utilidad : ($106,820,000 / $100,000,000 )-1 = 6.82%