Una aproximación geométrica Secciones Cónicas Una aproximación geométrica Titulo CURVAS CONICA

Sección geométrica Es la intersección, el corte, entre un cuerpo geométrico y un plano. En el siglo ? Estaba de moda estudiar las secciones de diversos objetos geometricos , conos , cilindros, toros… (cono cilindro madera, perseides)

Sección cónica Apolonio de Perga (262 A.C. 190 A.C) “el gran geómetra” El primero que estudió las secciones de un haz de luz cónico con un plano En concreto Apolonio de Perga se deico al estudio de las secciones de un cono

Cono o doble cono α Es un haz de rayos (GENERATRICES) que salen de UN PUNTO (VÉRTICE DEL CONO) y giran alrededor de una recta llamada EJE DEL CONO formando un cierto ángulo α Cono o doble cono es un haz de rayos llamados generatrices Que giran formando un cierto angulo con una recta : el EJE del cono

¡Siempre habrá una generatriz que corte al plano! Para que sea un cono de verdad este ángulo α siempre estará entre 0 y 90º ¡Siempre habrá una generatriz que corte al plano! Este angulo esta entre 0 y 90 grados Asi que al cortarlo con un plano siempre habra algo en la interseccion

Cónicas degeneradas Si el plano corta al cono pasando por el centro UN PUNTO UNA RECTA Si el plano pasa por el centro, la seccion conica sera solo un punto, una recta o un par de rectas. No es lo que uno se imagina cuandohabla de conicas. Se llaman conicas degeneradas UN PAR DE RECTAS

Cónicas no degeneradas Pero si el plano no pasa por el vértice las secciones salen curvas. Si el plano no pasa por el vertice, obtenemos una serie de figuras curvas. Esto son las conicas. Conicas no degeneradas (Aparecen las secciones y una vision del plano)

Clasificación Si el plano y el eje del cono son PERPENDICULARES circunferencia Si el plano y el eje del cono son PERPENDICULARES Si el plano y el eje forman un ángulo MAYOR que el formado por el eje y una generatriz Si el plano es PARALELO a una generatriz Si el plano y el eje forman un ángulo MENOR que el eje y una generatriz elipse Y si el plano es paralelo al eje la hipérbola se llama EQUILÁTERA Si el plano no pasa por el vertice, obtenemos una serie de figuras curvas. (Aparecen las secciones y una vision del plano) CORREGIR PARABOLA parábola hipérbola

Todas estas curvas aparecen en la naturaleza, en el arte y en la tecnología Estas figuras tan arbitrariamente escogidas, fuero apareciendo en distintos lugares La caída de los cuerpos forma una parábola, al representar los datos en una relación de proporcionalidad inversa aparece una hipérbola equilátera. La elipse aparece en ciertos moluscos y bacterias

Pero el renacer de las cónicas en la edad moderna fue gracias a la ASTRONOMIA

Kepler y las cónicas Pero lo que distingue a estas curvas sobre otras muchas es su aplicación a la astronomia Johannes Kepler(1571-1630) Astrónomo, matemático y físico alemán. Hijo de un mercenario y una bruja.

Seguidor de las teorías Copernicanas Modeló el sistema solar con los 5 planetas conocidos usando los 5 poliedros regulares

UN NUEVO ENFOQUE !! Las críticas de Ticho Brahe Le llevaron a Pero las críticas de su maestro Ticho Brahe: “Un sistema no solo debe ser bello, ademas debe representar la realidad” y los datos aportados sobre la orbita de marte, transformaron para siempre nuestra visión del mundo Le llevaron a UN NUEVO ENFOQUE !!

¡¡Los planetas se mueven formando elipses!!

y algunos cometas, recorren PARÁBOLAS…

Despertó un nuevo interés por las cónicas

Elementos de una sección cónica Elementos de una seccion conica

Eje de simetría Cono es simétrico respecto a cq plano que contenga al eje Plano es simétrico respecto a cq. Plano perpendicular a él Cónica es simétrica respecto a la proyección del eje en el plano (la intersección del único plano perpendicular a la cónica, conteniendo al eje) Eje de simetria

Las esferas: Focos y directriz Esfera tangente al cono Esferas Focos directriz

Tangentes al cono y al plano de la cónica Sean dos esferas… Tangentes al cono y al plano de la cónica A la vez

FOCOS Las esferas tocan al plano de la cónica en sendos puntos llamados FOCOS F y F’ Y tocan al cono en dos circunferencias G1 y G2

Perpendicularmente al eje de simetría Directriz El plano determinado por la circunferencia tangente G1 (o G2) Y el plano de la cónica Perpendicularmente al eje de simetría Se cortan en la DIRECTRIZ Agregar elipse con directriz Directriz Foco

La parábola solo tiene una directriz La hipérbola tiene dos Directriz La parábola solo tiene una directriz Esferas y focos en cada una de las cónicas Directriz

La directriz es la línea hacia la que se achata la cónica Si fijamos uno de los focos y el eje de simetría vemo9s que Según vamos inclinando un plano horizontal, el circulo se va convirtiendo en una elipse mas excéntrica, para pasar a ser una parábola cuando el plano es paralelo a una de las generatrices, y se convierte en hipérbola cuando Cuanto más se alejan los focos entre sí, más se acercan a sus respectivas directrices

Excentricidad ε= PF/PD PF=PG por potencia de un punto a una circunferencia Y la proyección de PG y PD en el eje es la misma, G y D están a la misma altura Este numero no depende mas que de la inclinación del plano que corta a la cónica Dibujo y calculo β es el ángulo que forma el plano de la cónica y su eje PG cosα=PD cosβ ε= PF/PD=PG/PD=cosβ/ cosα

Clasificación de las cónicas Circunferencia ε = 0 PF=radio PD=∞ Elipse ε <1 PF< PD Parábola ε =1 PF =PD Hipérbola ε >1 PF> PD Excentricidad es el cociente de la distancia foco punto, punto -directriz

La orbita de la tierra es una elipse de excentricidad 0,017

2. Estudio analítico de las cónicas El estudio analítico consiste en escribir geometría con coordenadas 3 Estudio analitico de las conicas El estudio analitico consiste en convertir los razonamientos geometricos al lenguaje de las coordenadas (Foto de Descartes)

PARÁBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz . PF=PD Si tomamos los ejes coordenados adecuados las ecuaciones de las cónicas pueden ser muy sencillas Parábola Eje x la mediatriz entre el foco y la directriz P=(x,y) F=(0,c) D=(x,-c) Eje y eje focal 2ª la distancia entre el foco y la directriz x2 = 4cy En general y=ax2

Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación sería: (y – q) =a (x – p)2 y=a(x2-2px+p2)+q y=ax2-2apx+ap2 +q y=ax2+b x+c Hiperbola y elipse Fp+fp´es constante (dos dibujos)

Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Coordenadas elipse

Ecuación elipse PF + PF' = 2 a Usando c2 = a2 + b2

HIPERBOLA Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola . Falta el razonamiento de porque

Coordenadas hipérbola I Matar al punto

Ecuación hiperbola PF – PF' = 2 a Usando c2 = a2 + b2 Como af+af´=aa´

ASINTOTAS Son la proyección en el plano de la cónica de las generatrices paralelas a la cónica Usando esta propiedad y poniendo coordenadas

Coordenadas hipérbola II Si la hipérbola es EQUILATERA las asíntotas son perpendiculares y pueden ser tomados como ejes Lo mismo hiperbola

Rotemos las coordenadas … a=b x2-y2=a2 Rotación de 45º (x+y)2-(x-y)2=2a2 4xy=2a2 Si los ejes son las asintotas en el caso de ser recta.Depurar

La excentricidad en la elipse y la hipérbola La directrices son x=a2/c y x=-a2/c ε= c/a Falta todo el razonamiento

FIN Aunque se podría contar lo de la parábola y los rayos Añadir urgentemente