FUNDAMENTOS PROYECTIVOS Universidad Politécnica de Madrid E.U.I.T.A. FUNDAMENTOS PROYECTIVOS FP_1 Prof. José Juan Aliaga Maraver Universidad Politécnica de Madrid

Operaciones proyectivas Proyección V Sección a b c b A B C Proyectar desde un punto V una serie rectilínea de base b genera un haz de rectas de vértice dicho punto. Seccionar por una recta b un haz de rectas de vértice V genera una serie rectilínea de base dicha recta.

Ternas ordenadas de elementos Tres elementos pertenecientes a una forma de primera categoría determinan una terna. puntos: (ABC) rectas: (abc) planos: (abg) La terna tiene un valor numérico o característica asociado a la ordenación de los términos (ABC) = AB/AC = l. (abc) = sen(ab)/sen(ac) = l. (abg) = sen(ab)/sen(ag) = l.

Ternas ordenadas de elementos V El sentido del segmento AB es contrario al del BA: AB=-BA C’ a B’ b c A B C (ABC) = AB/AC (abc) = sen(ab)/sen(ac) = (BB’/VB)/ (CC’/VC) = (BB’/CC’) * (VC/ VB) = (AB/AC) * (VC/ VB) (ABC) ≠ (abc) (ABC) = VB/VC*(abc)

Conservación de la razón simple B C (ABC) ≠ (A’B’C’) a b c V A’ B’ C’ A B C (ABC) = (A’B’C’) a b c V A’ B’ C’ Proyección cilíndrica (ABC) = (A’B’C’) A B C a b c V A’ B’ C’ Homotecia

Proyecciones cilíndricas: Conservación de la razón simple (ABC) = (A’B’C’) V r a b c M r A B C r’ =r’ M’ A’ B’ C’ La proyección del punto medio se corresponde con el punto medio de la proyección

Ternas de elementos FP_1P_01 V F (ADE) = (ABC) V F (BAC) = (DEA) 1-.En la figura adjunta se cumple: V F (ADE) = (ABC) V F (BAC) = (DEA) V F (ABC) =1/(ACB) C c B a A E b D d 2-.En la figura adjunta se cumple: M V F (PRN) = (QRM) V F (PRN) = 1 - (NRP) N R P Q

FP_1P_02 Proyección cilíndrica Determinar el punto X que cumple: P Q a) (PQX)=2/3 P Q b) (PQX)=-2/3 P Q c) (XPQ)=2/3 P Q d) (XPQ)=-1

FP_1P_03 Proyección cilíndrica La sombra (simplificada) de una torre de repetidores esta delimitada por el extremo A de un mástil de 12 metros, y el contorno BC de la edificación asociada. Determinar la altura total de la torre D C B A D C B A

FP_1P_04 Proyección cilíndrica Determinar la altitud del punto P situado en el plano  (definido por los puntos A, B y C, proyectados cilíndricamente sobre el plano del dibujo) A A(10) P P( ) h=10 C C(6) A(10) h=6 C(6) B(6) Figura de análisis

FP_1P_05 Proyección cilíndrica Determinar la proyección del baricentro de un triángulo ABC contenido en un plano  proyectado cilíndricamente sobre el plano  del dibujo  A’ A B C B’ C’ A’ C’  B’ Figura de análisis

Ternas FP_1P_06 Determinar una recta r que pase por el punto P y seccione a las rectas a y b en puntos A y B respectivamente, de forma que (PAB)=-2/3 a P b Figura de análisis