LÍMITE Y CONTINUIDAD U.D. 4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

CONTINUIDAD DE FUNCIONES U.D. 4.3 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

CONTINUIDAD GRÁFICA Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lápiz del papel. Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3 y=ex y=x – x3 1 y=x+1 - 1 0 1 1 - 1 0 - 1 0 Función continua en R Función continua en R Función continua en R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

CONTINUIDAD ANALÍTICA Una función y=f(x) se dice que es continua en un punto x=a, cuando se cumplen tres condiciones: 1) Existe la función en ese punto, existe f(a). Es decir, ‘a’ forma parte del dominio de la función. 2) Existe el límite de la función en dicho punto, lím f(x) xa Si la función en dicho punto está troceada, el límite por la derecha debe coincidir con el límite por la izquierda para que exista dicho límite. 3) El valor de la función en dicho punto coincide con el límite: f(a) = lím f(x) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos EJEMPLO_1 x – 4 , si x < 2  Función lineal Sea f(x) = – 2 , si x >=2  Función constante A la izquierda de x=2 ( función lineal ) es continua. A la derecha de x=2 ( función constante) es continua. Miramos si es continua en el punto x=2 1) f(2) = -2 Es decir, x=2 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 2 – 4 = -2 Lím f(x) = -2 x2- x2+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale - 2. 3) f(2) = lím f(x)  - 2 = - 2 x2 La función es también continua en x = 2. Es continua en R @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos EJEMPLO_2 x2 – 1 , si x < 1  Función cuadrática Sea f(x) = 0 , si x >=1  Función constante A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=1 ( función constante) es continua. Miramos si es continua en el punto x=1 1) f(1) = 0 Es decir, x=1 es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 1 – 1 = 0 Lím f(x) = 0 = 0 x1- x1+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale 0. 3) f(1) = lím f(x)  0 = 0 x1 La función es también continua en x = 1. Es continua en R @ Angel Prieto Benito @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T. 6 6

Ejemplos EJEMPLO_3 x2 – 3 , si x < 0  Función cuadrática Sea f(x) = 4·x – 3 , si x > 0  Función lineal A la izquierda de x=0 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=0 ( función constante) es continua. Miramos si es continua en el punto x=0 1) f(0) = no existe. Es decir, x=0 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 0 – 3 = – 3 Lím f(x) = 4·0 – 3 = – 3 x0- x0+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale – 3. 3) Existe límite de f en x=0, pero no existe función. La función, en x = 0, presenta una DISCONTINUIDAD EVITABLE. @ Angel Prieto Benito @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T. 7 7

Ejemplos EJEMPLO_4 x2 – 4 , si x < – 2  Función cuadrática Sea f(x) = 4 – x2 , si x > – 2  Función cuadrática A la izquierda de x= – 2 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x= – 2 ( función constante) es continua. Miramos si es continua en el punto x= – 2 1) f(– 2 ) = no existe. Es decir, x= – 2 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = (– 2)2 – 4 = 4 – 4 = 0 Lím f(x) = 4 – (– 2)2 = 4 – 4 = 0 x– 2- x– 2+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale 0. 3) Existe límite de f en x= – 2 , pero no existe función. La función, en x = – 2 , presenta una DISCONTINUIDAD EVITABLE. @ Angel Prieto Benito @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T. 8 8

x2 – 9 , si x < 3  Función cuadrática Sea f(x) = EJEMPLO_5 x2 – 9 , si x < 3  Función cuadrática Sea f(x) = x - 3 , si x > 3  Función lineal A la izquierda de x=3 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=3 ( función lineal) es continua. Miramos si es continua en el punto x=3 1) f(3) = NO existe. Es decir, x=3 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 32 – 9 = 0 Lím f(x) = 3 – 3 = 0 x3- x3+ El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego existe dicho límite y vale 0. 3) f(3) <> lím f(x) , al no existir f(3) x3 La función en x=3 presenta una DISCONTINUIDAD EVITABLE. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

x2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = EJEMPLO_6 x2 – 2 , si x ≤ 1  Función cuadrática Sea f(x) = ln (x – 1) , si x > 1  Función logarítmica A la izquierda de x=1 ( función cuadrática ) es continua. A la derecha de x=1 ( función logaritmica) es continua. Miramos si es continua en el punto x=1 1) f(1) = 12 – 2 = 1-2= -1 Es decir, x=3 no es un punto del dominio de la función. 2) Lím f(x) = 12 – 2 = 1 – 2=- 1 Lím f(x) = ln (1 – 1 = ln 0+ = oo x1- x1+ El límite por la izquierda NO coincide con el límite por la derecha, luego NO existe límite. 3) f(1) <> lím f(x) , al no existir límite. x1 La función en x=1 presenta una DISCONTINUIDAD de 2ª ESPECIE CON SALTO INFINITO. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

CONTINUIDAD GRÁFICA 0 2 4 9 13 X En x=2 la función existe y tiene límite, luego en x=2 es continua. En x=4 la función existe, f(4)=0, y tiene límite, pero f(4) <> Límite f(x). No es continua en x=4 En x=9 la función no tiene límite, aunque existe f(9). No es continua en x=9 En x=13 la función existe, y vale 0, pero uno de sus límites laterales es oo; por lo tanto NO tiene límite, y en consecuencia no es continua en x=13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.