10. LIMITES DE FUNCIONES Definición de límite La función no está definida en el punto x = 1 ya que se anula el denominador. Para valores próximos a x = 1 tenemos Taller matemático 1/12

Definición de límite A vista de la tabla pueden hacerse tres importantes observaciones: I) Cuando x toma valores próximos 1, la función f(x) toma valores próximos a 1/2. II) Cuanto más próximo es x a 1, más lo es f(x) a 1/2. III) Podemos acercarnos con f(x) tanto como queramos a 1/2, eligiendo x convenientemente próximo a 1. Por verificarse la tercera, diremos que ½ es el límite de la función cuando x tiende a 1. Es decir, ½ es el límite de f(x), cuando x se acerca a 1, si para cualquier valor ε, positivo y pequeño que se considere, por ejemplo ε = 0,0000001, siempre podemos encontrar valores x, suficientemente próximos a 1 pero distintos de 1, de modo que sea Taller matemático 2/12

Definición formal de límite Se dice que la función f tiene límite L cuando x tiende al valor a, si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que para los x que verifican 0 < | x – a | < δ se tiene que | f(x) – L | < ε. Abreviadamente podemos escribir La definición dada se escribe en forma equivalente empleando intervalos en la forma: El valor del límite es independiente del valor de la función en el punto, y que en general el valor de δ depende del ε elegido y del punto a considerado. Taller matemático 3/12

Propiedades de los límites Las principales propiedades de los límites de funciones son las siguientes: Si y , entonces se verifica que: 1. Si existe el límite de una función en un punto, es único. 2. 3. 4. 5. 6. Taller matemático 4/12

Ejemplo 1. Las funciones y toman los mismos valores en un entorno reducido del punto x = 1 y como es también es Ésto es lo que ocurre cuando se efectúa en forma directa el cálculo del límite Taller matemático 5/12

Límites laterales En la definición de límite tomamos valores de x próximos al valor a en ambos lados de a. Puede ocurrir que el límite exista a condición de que tomemos valores de x próximos pero sólo a un lado del punto a, esta idea nos lleva a los límites laterales. Escribiremos Para la existencia de límite de una función en un punto han de existir los límites laterales y coincidir, es decir, Taller matemático 6/12

Límites laterales Ejemplo 2. La función posee en el punto x = 1 límite por la izquierda, que vale 2, límite por la derecha, que vale 3, pero al no coincidir estos valores la función no tiene límite en ese punto. Taller matemático 7/12

Límites infinitos y límites en el infinito Se considera la recta real ampliada, el límite de una función en un punto puede ser ó y la variable puede tender a ó a y se escribe, por ejemplo, Indeterminaciones y cálculo de límites Aparte de la indeterminación de la forma con k ≠ 0, que obliga a hallar los límites laterales para decidir la existencia o no del límite, existen siete indeterminaciones más, que se representan como Taller matemático 8/12

Ejemplo 3. Ejemplo 4. El límite no presenta indeter- minación. El límite siguiente es indeterminado de la forma y lo calculamos así: Donde hemos simplificado la expresión entre x - 2, ya que numerador y denominador son polinomios múltiplos de x - 2, al tener ambos el valor x = 2 como raíz. Taller matemático 9/12

Ejemplo 5. El límite presenta una indeterminación del tipo y si simplificamos numerador y denominador, resulta es decir, tenemos otra indeterminación. Ésta se resuelve hallando los límites laterales, que son por lo que el límite pedido no existe. Taller matemático 10/12

Ejemplo 6. El límite presenta una indeterminación que se resuelve dividiendo numerador y denominador entre la potencia mayor del denominador, que es Si hubiésemos dividido entre la potencia mayor del numerador, que es nos habría quedado una indeterminación del tipo lo que nos habría obligado a calcular los límites laterales. Taller matemático 11/12

Ejemplo 7. Para hallar el limite multiplicamos numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador, que es la que origina la indeterminación, obteniendo Taller matemático 12/12