Dinámica de la partícula Melissa Robert Andrea Viscarret  

INTRODUCCIÓN: El siguiente proyecto hace referencia a como llevar a cabo la resolución de un problema físico, haciendo uso adecuadamente de las leyes de Newton a través de diagramas de cuerpo libre, sistemas de referencia inerciales y cambios de variables observando como influyen en el movimiento del sistema.

Problema: La figura 1 muestra una cuña de ángulos =30°, =60° y 90º y altura h que se encuentra unida rígidamente al piso. Dos bloques de masas m1 y m2, se pueden mover sobre los planos inclinados de la cuña, unidos entre sí mediante una cuerda inextensible y sin masa que pasa por una polea, también sin masa. El sistema está en reposo con ambos bloques ubicados a una altura h/2, medida desde el piso. El contacto entre los bloques y los planos inclinados es liso. El tamaño de los bloques y de la polea son despreciables. Hallar la relación entre m1 y m2 para que el bloque m2 llegue hasta el piso.

Análisis de la cinemática del sistema: Determinación de un sistema inercial. Fijar un sistema de ejes coordenados XOY para un movimiento en dos dimensiones.

Ecuaciones de posición, velocidad y aceleración: Se plantea la siguiente relación entre la cuerda y los bloques (cuerda ideal): Derivando se obtienen las ECUACIONES DE VÍNCULO:

Diagramas de cuerpo libre:

Segunda ley de Newton: Planteamos esta ley para cada uno de los cuerpos obteniendo las ecuaciones que nos describen el comportamiento del sistema. Segunda ley para polea y cuerdas: Segunda ley para el bloque 1: . <dv<ae Segunda ley para el bloque 2:

Despejando la aceleración se obtiene: Que la aceleración sea positiva significa que el bloque 1 se mueve hacia arriba y el 2 hacia el piso, que es lo que nos pide el problema. Esto se va a cumplir solamente si: Como y entonces

Variación de parámetros para analizar cómo se comportaría el sistema: Para esta parte se considera el ángulo de la cuña opuesto al piso como fijo y de 90°, con lo cual son ángulos complementarios y menores que 90°, por lo que aplicando propiedades a la tenemos que: y Si

Variación de parámetros

Comportamiento del sistema cuando la cuña puede moverse libremente sobre el piso: Análisis de la cinemática del sistema: Sistema inercial , desde el piso porque la cuña puede acelerarse. Sistema relativo en la cuña. En . Para esta parte se sigue manteniendo el vínculo entre los bloques por medio de la cuerda, por lo que sigue siendo válida la ecuación:

Diagrama de cuerpo libre.

Aplicaciones de la segunda ley de Newton. Segunda ley para la cuña de masa : : : Para los bloques se deriva dos veces las ecuaciones de posición respecto a (S) para obtener la aceleración absoluta:

Segunda ley para el bloque 1:

Conclusión: Resolviendo este problema se puede apreciar la importancia que tiene la aplicación de las leyes de Newton sobre cualquier cuerpo siempre que sea estudiado desde un sistema de referencia inercial. Una observación importante es el tener presente que trabajamos en condiciones ideales, lo que nos permite deducir las llamadas ecuaciones de vínculo, las cuales al relacionar incógnitas, nos facilitan los cálculos. El resolver parametricamente nos dio la posibilidad de llevar el ejercicio más allá de las limitaciones que la letra nos da al determinarnos valores particulares para un caso. Se puede ver claramente en la gráfica la cantidad de variaciones posibles que se le pueden hacer al sistema sin que se vea afectada la validez de la ecuación del movimiento. El tener en cuenta todo lo anterior nos da la posibilidad de estudiar casos más complejos, como por ejemplo, cuando la cuña puede moverse libremente sobre el piso.