Matrices y Determinantes Conceptos básicos.

Matrices Una matriz es una ordenación rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas encerrados entre paréntesis Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, .... y sus elementos con minúsculas con dos subíndices aij, que indican respectivamente la fila y la columna en la que se sitúa el elemento

n=1 Tipos de matrices Matriz fila : Una matriz fila está constituida por una sola fila. n=1

Matriz columna: La matriz columna tiene una sola columna m=1

n=m Tipos de matrices Matriz cuadrada : La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. n=m

Matriz rectangular: Matriz en la cual m no es igual a n

b) aij=0 si i � j y aij = 1 si i =j Matriz nula: En una matriz nula todos los elementos son ceros. n = m b) aij=0 si  i  � j  y aij = 1 si i =j

Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. n = m b) aij = 0 si  i  >= j

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. n = m b) aij = 0 si i <= j

Matriz diagonal: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. a)  n = m b)  aij=0 si  i  � j  

Matriz escalar: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas (At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A ·  B)t = Bt · At

Matriz regular: Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular: Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente: Una matriz, A, es idempotente si: A2= A.

Matriz involutiva: Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I.

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: n = m b) aij = aji A = At

A = -At. Matriz antisimétrica o hemisimétrica: Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

Matriz ortogonal: Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At = I

Aplicaciones de matrices en otras áreas del conocimiento

Matrices en la computación: Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar grafos, y son muy utilizadas en el cálculo numérico.

Ya en el año 450 a.C. los espartanos de Grecia enviaban mensajes codificados. Para ello enrollaban una banda de cuero o cinturón sobre un cilindro, se escribía el mensaje y al desenrollar la banda de cuero ésta parecía que sólo estaba adornada con marcas inocentes. Sin embargo, si el destinatario del mensaje arrollaba nuevamente la banda alrededor de un cilindro similar al utilizado cuando se escribió dicho mensaje, éste podía ser leído sin dificultad. Este método es un sistema de codificación por transposición.

La máquina Enigma era un dispositivo para codificar mensajes empleado por los alemanes en la II Guerra Mundial.

Determinantes El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

Propiedades de las determinantes 1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det At . (Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas). 2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo. 3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número. (Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante)

4. Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, el determinante también lo es. 5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o proporcionales)el determinante es 0. 6. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse también como suma de dos determinantes.

7. Si una fila o columna es c.l. de las otras su determinante es cero. 8. Si a una fila (columna) de una matriz se le suma otra fila (columna) multiplicada por un nºel determinante no varía. 9. Si una matriz cuadrada es triangular (superior o inferior) su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. Consecuencia: Si I es la matriz identidad su determinante vale 1.

10. El determinante de un producto de matrices (de órdenes iguales) es igual al producto de sus determinantes. Es decir det AB = det A. det B. 11. Si  $ A-1 entonces ½A½-1 = 1/|A| En efecto,  A.A-1= I  , luego |A·A-1| = |I| = 1