Razones trigonométricas de un ángulo agudo Cateto opuesto y Hipotenusa h 90º a Cateto contiguo x

Valores posibles de las razones Como la hipotenusa siempre es mayor que los catetos: 0 < sen a < 1 0 < cos a < 1 Como los catetos pueden tomar cualquier valor: 0 < tg a < ¥

Otras razones trigonométricas. 90º a Cateto contiguo x Cateto opuesto y Hipotenusa h

Relación fundamental de la trigonometría 90º a x y h Teorema de Pitágoras Por tanto:

Otras relaciones importantes 90º a x y h Por tanto: Estas relaciones permite calcular el resto de las razones trigonométricas de un ángulo agudo conocida una de ellas.

Razones trigonométricas de ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios si suman 90º. Si uno es a el otro es 90º-a. a x y h 90º 90º-a

Razones trigonométricas de 45º Utilizamos un triángulo rectángulo isósceles con catetos iguales a uno 1 Por el teorema de Pitágoras: 45º Por tanto:

Razones trigonométricas de 30º y 60º Ahora utilizamos un triángulo equilátero de lados iguales a 1 60º 1 60º 30º 1 1/2

Cuadro resumen 30º 45º 60º p/6 p/4 p/3 seno coseno tangente

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (I). Consideramos una circunferencia de radio uno. 1 a 1 Para cada ángulo tendremos un punto en la circunferencia de coordenadas x e y 1 y x a Por tanto el seno es la segunda coordenada del punto y el coseno la primera.

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante (II). Los triángulos OPA y OP’A’ son semejantes Representación de la tangente O P’ A A’ 1 a

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Primer cuadrante. Resumen 1 a

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Segundo cuadrante. 1 Seno positivo Coseno negativo Tangente negativa a

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Tercer cuadrante. 1 Seno negativo Coseno negativo Tangente positiva a

Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera. Cuarto cuadrante. 1 Seno negativo Coseno positivo Tangente negativa a

Razones trigonométricas de ángulos entre cuadrantes. 180º 1 0º 90º 270º 360º 0º 90º 180º 270º 360º seno 1 -1 coseno tangente

Signo de las razones trigonométricas. coseno + - seno + + - - tangente + -

Valores posibles de las razones.

Reducción al primer cuadrante (I) Reducción al primer cuadrante (I). Ángulos suplementarios (que suman 180º). X Y Si un ángulo mide a su suplementario mide 180º - a a 180º - a P(-x, y) P(x, y) y y sen (180º - a) = sen a a -x x cos (180º - a) = - cos a tg(180º - a ) = - tg a

Reducción al primer cuadrante (II). Ángulos que difieren en 180º. Si dos ángulos difieren en 180º y uno mide a el otro mide 180º + a X Y 180º + a P(x, y) y sen (180º + a) = - sen a a -x x -y a cos (180º + a) = - cos a P(-x, -y) tg (180º + a )= tg a

Reducción al primer cuadrante (III). Ángulos que suman 360º. Si un ángulo mide a el otro mide 360º-a X Y P(x, y) y sen (360º - a) = - sen a 360º - a a x -y cos (360º - a) = cos a P(x, -y) tg (360º - a) = - tg a

Ángulos negativos Y P(x, y) y x -y X P(x, -y) Si un ángulo mide a su opuesto mide -a X Y P(x, y) y sen (- a) = - sen a a x -y - a cos (- a) = cos a P(x, -y) tg (- a) = - tg a

Ángulos mayores de 360º Ejemplo: calcula las razones trigonométricas de 870º 2 870 360 150 870º son 2 vueltas completas más 150º sen( 870º) = sen (150º) = sen( 30º ) = cos ( 870º) = cos (150º) = -cos( 30º ) = tg ( 870º) = tg (150º) = -tg( 30º ) = IES Francisco de los Cobos. Departamento de Matemáticas Antonio Jesús Fernández Rodríguez