MOVIMIENTOS EN EL PLANO

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. ÍNDICE Movimientos en el plano. Definición. Traslación. Rotación. Simetría central. Simetría axial. Los siete tipos de frisos. Ejemplos de movimientos en la vida real. Mosaicos. Mosaicos de Escher. Mosaicos en la Alhambra.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. DEFINICIÓN Una transformación geométrica es una relación que hace corresponder a cada punto P del plano otro punto P' del plano. Se dice que P y P' son homólogos por la transformación. Los puntos que quedan transformados en ellos mismos se dice que son invariantes o puntos dobles. Un movimiento  o isometría es una transformación en el que todas las figuras mantienen su forma y su tamaño. La distancia entre dos puntos cualesquiera de la figura se mantiene constante. Los movimientos pueden ser de dos tipos: Directos: Cuando el movimiento conserva el sentido, es decir, si el punto A se transforma en A’, el B en B’ y el C en C’ y al hacer el recorrido de estos puntos en el orden ABC se va en el sentido de las agujas del reloj. O sea, conserva la orientación de las figuras. Son movimientos directos la traslación, el giro o rotación y la simetría central. Inversos: Cuando el movimiento cambia el sentido, es decir, cuando se va en sentido contrario a las agujas del reloj. O sea, invierten la orientación. Es un movimiento inverso la simetría axial o reflexión.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. TRASLACIÓN Una traslación de vector es un movimiento directo en el plano que asocia a cada punto A un punto A' de forma que el vector   es un vector de igual módulo dirección y sentido que .

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. ROTACIÓN Un giro o rotación de centro O y ángulo α es un movimiento que a cada punto A le hace corresponder A' de forma que OA = OA'  y  el ángulo  AOA'= α. Se representa por g(O,α).   El ángulo de giro es positivo si es en sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si es en el mismo sentido. El ángulo de giro también se llama argumento.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. SIMETRÍA CENTRAL Una simetría central de centro O es un movimiento directo que hace corresponder a un punto A otro A’ de forma que OA = OA’ y, además, A, O y A’ están en la misma recta. A y A’ están uno a cada lado del centro O y a igual distancia de él.

MOVIMIENTOS EN EL PLANO. SIMETRÍA AXIAL Una simetría axial de eje la recta r es un movimiento inverso que lleva cada punto A en otro A' de forma que r es la mediatriz de AA'. Esto es: El eje r es perpendicular a AA'. La distancia d(A,r) = d(r,A') Por tanto, para hallar el simétrico de un punto A respecto de la recta r, se traza una perpendicular a la recta r por el punto A. El punto A’ se encontrará a igual distancia que el punto A de r, pero al otro lado de la recta. Es decir, el eje de simetría actúa como un  espejo. Desplazamiento

LOS SIETE TIPOS DE FRISOS Algoritmo de Rose-Stafford

FRISO DE LAS TRASLACIONES: L1 El tipo L1 es el más simple, y se le suele llamar “friso de las traslaciones”, puesto que una determinada figura se traslada hacia la derecha varias veces, sin ninguna otra transformación.

FRISO DE LAS TRASLACIONES Y LAS ROTACIONES : L2 El segundo tipo, L2, es el “friso de las traslaciones y las rotaciones”. Para generar este tipo de friso partimos de una figura, que giramos 180º, y luego trasladamos hacia la derecha.

FRISO DE LAS TRASLACIONES Y LAS REFLEXIONES VERTICALES: L3 El tipo L3 es el “friso de las traslaciones y las reflexiones verticales”. Dibujamos una figura, y, a su derecha, trazamos un eje vertical, que utilizaremos como eje de simetría. Dibujamos la figura simétrica y trasladamos ambas figuras. Este friso se puede denominar “friso de simetría vertical”.

FRISO DE LAS TRASLACIONES Y LAS REFLEXIONES HORIZONTALES: L4 El tipo L4 es el “friso de las traslaciones y la reflexión horizontal”. Este friso, al igual que el anterior, se obtiene por simetría y traslación. En este caso el eje de simetría es horizontal.

FRISO DE LAS TRASLACIONES, GIROS, REFLEXIONES Y DESLIZAMIENTOS: L5 El quinto tipo, L5, es el “friso de las traslaciones, las rotaciones y los giros”. Tenemos una figura, que giramos 180º, y trasladamos hacia la derecha. Ponemos simetría vertical, y obtenemos el friso. Es el friso más completo, y combina traslaciones, giros, reflexiones y deslizamientos.

FRISO DE LAS TRASLACIONES Y EL DESPLAZAMIENTO: L6 El sexto tipo de friso, L6, corresponde al “friso de las traslaciones y el deslizamiento”. Al módulo mínimo se le somete a una simetría horizontal seguido de una traslación (deslizamiento) con lo que se consigue el módulo básico que luego se repite.

FRISO DE LOS GIROS Y EL DESLIZAMIENTO: L7 El séptimo tipo, L7, es el “friso de los giros y los deslizamientos”. Es una combinación de giro, deslizamiento y traslación; así surgen reflexiones verticales.

EJEMPLOS DE MOVIMIENTOS EN LA VIDA REAL

MOSAICOS Un mosaico está formado por un conjunto de figuras que recubren el plano mediante traslaciones. Han de cumplirse dos condiciones: No pueden superponerse. No pueden dejar huecos sin recubrir. Un mosaico se llama regular si está generado por un polígono regular. Los únicos polígonos regulares que cubren el plano son el triángulo, el cuadrado y el hexágono.

MOSAICOS Un mosaico se llama semirregular si está compuesto por dos o más polígonos regulares.

MOSAICOS DE ESCHER Los mosaicos, al igual que los frisos, se pueden generar a partir de un motivo mínimo mediante la combinación de diferentes movimientos El famoso artista holandés M. C. Escher dibujó sorprendentes figuras que encajaban entre sí formando bellos mosaicos.

MOSAICOS EN LA ALHAMBRA El avión La pajarita El hueso

MOSAICOS EN LA ALHAMBRA

ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. HASTA PRONTO, CHAVALES. ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO. COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA PÁGINA WEB. ¡¡¡¡ ADIOS !!!!