APLICACIONES DE LA DERIVADA La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”.
Sea: La rigidez esta dada por: R =(ancho)*(espesor)^3
2a y x Por lo tanto: R =(ancho)*(espesor)^3 => R=X*Y^3 (2a)^2 = (x )^2 + (y )^2 1 2
DESPEJANDO “Y” DE LA ECUACION 2: 4a^2 - x^2 = y^2 REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE: R=X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½ ECUACION PRINCIPAL
DERIVANDO LA ECUACION: R=*X*(4a^2 - x^2) ^3/2 dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +x*(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)*(-2x) IGUALANDO EN CERO: 0 = [(4a^2 - x^2) ^3/2]+[(4a^2 - x^2)*( – 3x^2)] SE OBTIENE: 1° (4a^2 - x^2) – 3x = 0 => a = x , solución valida.
Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuación principal: R=a*(4a^2 - a^2)^3/2 R=a*(3a ^2) ^(3/2) R=(3^(3/2))*a^4
f ´´(x) > 0 , es minino relativo Recordemos que: f ´´(x) > 0 , es minino relativo f ´´(x) < 0 , es máximo relativo como vemos: dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x) d²R/dx² = K*[-3((4a^2 - x^2) ^1/2)-6x((4a^2 - x^2) ^1/2)+3x/((4a^2 - x^2) ^1/2)] IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE: d²R/dx² < 0
POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE MAYOR RIGIDEZ SON: VOLUMEN VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO) A= a²(3^½)L o A= x²(3^½)L