VECTORES EN EL ESPACIO Matemáticas II

VECTORES w v SUMA DE VECTORES (regla del paralelogramo) v + w w v PRODUCTO POR UN ESCALAR v ( < 0) v v ( > 1)

VECTORES EN EL ESPACIO ELEMENTOS DE UN VECTOR: Módulo: Longitud del vector. Dirección: La dirección de la recta sobre la que se apoya Sentido: Indicado por la flecha del extremo. Punto de aplicación: Punto origen del vector (opuesto a la flecha) v |v|

Un vector v define una dirección en el espacio VECTORES EN EL ESPACIO Vectores EQUIPOLENTES son los que tienen igual módulo, dirección y sentido El conjunto de todos los vectores equipolentes se denomina VECTOR LIBRE Por tanto, no tiene fijado el punto de aplicación Un vector v define una dirección en el espacio

COORDENADAS DE PUNTOS EN EL ESPACIO VECTORES EN EL ESPACIO COORDENADAS DE PUNTOS EN EL ESPACIO A A(x1, y1, z1) v vz B(x2, y2, z2) vp z1 B z2 x2 y1 vy x1 vx vp y2 COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO v = vp + vz v = vx + vy+ vz v(vx, vy, vz) vp = vx + vy vx = x2 – x1 vy = y2 – y1 v(x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) vz = z2 – z1

VECTORES EN EL ESPACIO Ejercicio: Considera los puntos A (1, 0, −2) y B (−2, 3, 1). Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. Consideramos el vector A C D B v = (1, 1, 1) Las coordenadas de C pueden obtenerse sin más que trasladar el punto A mediante el vector v: C = (1, 0, 2) + (1, 1, 1) = (0, 1, 1) Las coordenadas de D pueden obtenerse sin más que trasladar el punto C mediante el vector v: D = (0, 1, 1) + (1, 1, 1) = (1, 2, 0)

VECTORES EN EL ESPACIO MÓDULO DE UN VECTOR Aplicamos el teorema de Pitágoras: vz v vy Por tanto: vx vp Obervemos que el módulo del vector es, también, la distancia entre los puntos origen y extremo:

VECTORES EN EL ESPACIO DIRECCIÓN DE UN VECTOR La dirección del vector viene determinada por los ángulos que forma con los semiejes positivos. v  vz   Estos ángulos se determinan mediante sus cosenos, que reciben el nombre de COSENOS DIRECTORES del vector. vp vx vy

VECTORES EN EL ESPACIO COMPONENTES DE UN VECTOR v = vx + vy + vz v = vxi + vyj + vzk vz v Base del espacio vectorial: {i, j, k} k vy j i vx {i, j, k} son vectores unitarios porque su módulo es la unidad {i, j, k} es una base ortogonal porque forman un ángulo de 90º entre sí Por ambas cosas {i, j, k} es una base ortonormal

0 = a1u1 + a2u2 + ··· + anun  0 = a1 = a2 = ··· = an VECTORES EN EL ESPACIO DEPENDENCIA LINEAL. Un vector v se dice que es combinación lineal de los vectores u1, u2, …, un, si existen números reales a1, a2, …, an tales que v = a1u1 + a2u2 + ··· + anun Un conjunto de vectores {u1, u2, …, un} se dice que es linealmente dependiente, (o que forman un sistema ligado), si uno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás. La definición anterior, es equivalente a decir que los vectores u1, u2, …, un, son linealmente dependientes si existen números reales a1, a2, …, an, no todos nulos, tales que 0 = a1u1 + a2u2 + ··· + anun Los vectores {u1, u2, …, un} se dice que son linealmente independientes, (o que forman un sistema libre) si: 0 = a1u1 + a2u2 + ··· + anun  0 = a1 = a2 = ··· = an Se llama rango de un conjunto de vectores al nº de ellos que son linealm. independientes.

Un sistema generador que, además, es libre, se llama base de V. VECTORES EN EL ESPACIO BASES. Dado un espacio vectorial V, se dice que S = {u1, u2, …, un} es un sistema generador si cualquier vector v  V se puede expresar como combinación lineal de los elementos de S. Un sistema generador que, además, es libre, se llama base de V. Ejemplo 1. Determina si los vectores u1(3, 3, 2), u2(1, 1, -1) y u3(2, 2, 3) dados por sus coordenadas en una base de V3, son linealmente independientes. Una estrategia sencilla para comprobar si son linealmente independientes, consiste en escribir cada vector como columna de una matriz, y calculamos el rango de dicha matriz: Por tanto, sólo dos de los vectores son linealmente independientes, el tercero puede expresarse como combinación lineal de los otros dos.

VECTORES EN EL ESPACIO Ejemplo 2. Se consideran los siguientes vectores de V3: u1(1, 1, 0), u2(1, 0, 1) y u3(0, 1, 1) Demuestra que forman una base en V3. Halla las coordenadas en la base {u1, u2, u3} de los vectores i(1, 0, 0), j(0, 1, 0) y k(0, 0, 1) a) Para demostrar que constituyen una base, hay que probar dos cosas: que son un sistema generador y que es libre. Por tanto, es un sistema libre Para que sea generador, se necesita que cualquier vector v(a, b, c) pueda expresarse como combinación lineal de ellos: (a, b, c) = x(1, 1, 0) + y(1, 0, 1) + z(0, 1, 1) Pero esto es equivalente a: Y como este sistema es compatible determinado, cualesquiera que sean a, b, c reales, concluimos que el conjunto dado de vectores es una base de V3

VECTORES EN EL ESPACIO   Ejemplo 2. Se consideran los siguientes vectores de V3: u1(1, 1, 0), u2(1, 0, 1) y u3(0, 1, 1) Demuestra que forman una base en V3. Halla las coordenadas en la base {u1, u2, u3} de los vectores i(1, 0, 0), j(0, 1, 0) y k(0, 0, 1) b) Resolveremos el sistema planteado anteriormente. Para ello, usaremos el método de Gauss:  F2 – F1  F3 + F2 De donde se deduce que: x = ½ (a + b – c); y = ½ (a – b + c); z = ½ (a + b + c) Se dice que las coordenadas del vector (a, b, c) en esta base son (x, y, z) Como lo hemos resuelto de manera genérica, no hay más que sustituir a, b y c por los valores correspondientes para obtener las coordenadas de cualquier vector. Así: i(1, 0, 0)  a = 1, b = c = 0  x = ½ ; y = ½ ; z =  ½  iB’ ( ½ , ½ ,  ½ ) j(0, 1, 0)  b = 1, a = c = 0  x = ½ ; y =  ½ ; z = ½  jB’ ( ½ ,  ½ , ½ ) k(0, 0, 1)  c = 1, a = b = 0  x =  ½ ; y = ½ ; z = ½  kB’ ( ½ , ½ , ½ )

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES VECTORES EN EL ESPACIO PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Sean los vectores v(vx, vy, vz) y w(wx, wy, wz). v Definimos el producto escalar de estos dos vectores: v·w = |v|·|w|·cos(v, w) donde (v, w) es el ángulo formado entre v y w. (v, w) w (w, v) PROPIEDADES El resultado del producto escalar es un escalar: un número real. Es conmutativo puesto que cos(v, w) = cos(w, v). Es homogéneo: k·(v·w) = (kv)·(w) = v·(kw) . Es distributivo: u·(v + w) = u·v + u·w .

VECTORES EN EL ESPACIO PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: Interpretación geométrica. v v·w = |v|·|w|·cos  w Observamos que vw = v·cos = proyección de v sobre w. vw v·w = 0  |v|·|w|·cos = 0  cos = 0   = 90º o  = 270º  v  w Por tanto, decir que el producto escalar de dos vectores es nulo, equivale a decir que son perpendiculares. v·v = |v|·|v|·cos0º = |v|2 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES. v·w = |v|·|w|·cos 

VECTORES EN EL ESPACIO EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES v·w = (vx, vy, vz)·(wx, wy, wz) = (vxi + vyj + vzk)·(wxi + wyj + wzk) = = (vx·wx)i·i + (vx·wy)i·j + (vx·wz)i·k + + (vy·wx)j·i + (vy·wy)j·j + (vy·wz)j·k + + (vz·wx)k·i + (vz·wy)k·j + (vz·wz)k·k Ahora, observemos los resultados de los productos escalares de los vectores de la base: i·i = j·j = k·k = 1·1·cos0º = 1 i·j = j·i = i·k = k·i = j·k = k·j = 1·1·cos90º = 0 Por tanto: v·w = vx·wx + vy· wy + vz·wz Y entonces:

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES VECTORES EN EL ESPACIO PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES Sean los vectores v(vx, vy, vz) y w(wx, wy, wz). Definimos el producto vectorial de estos dos vectores como otro vector u con las siguientes características: a) |u| = |v × w| = |v|·|w|·sen(v, w) b) La dirección de u es perpendicular al plano que contiene a vy w c) El sentido de u viene determinado por la regla del tornillo. PROPIEDADES El resultado del producto vectorial es un vector. u v × w =  w × v puesto que sen(v, w) = sen(w, v) w Distributiva: u × (v + w) = u × v + u × w. v Es homogéneo: k·(v×w) = (kv)×(w) = v×(kw) . i × j = k; j × k = i; k × i = j; i × i = j × j = k × k = 0

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. Interpretación geométrica. VECTORES EN EL ESPACIO PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES. Interpretación geométrica. w h |v × w| = |v|·|w|·sen  v Observamos que h = |w|·sen Así, como el área del paralelogramo es base × altura, se tendrá que: Área = |v|·h = |v|·|w|·sen = |v × w| En particular, el área del triángulo será: Área TRIÁNGULO = ½ |v|·h = ½ |v|·|w|·sen = ½ |v × w|

VECTORES EN EL ESPACIO EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES v×w = (vx, vy, vz) × (wx, wy, wz) = (vxi + vyj + vzk) × (wxi + wyj + wzk) = = (vx·wx)i×i + (vx·wy)i×j + (vx·wz)i×k + + (vy·wx)j×i + (vy·wy)j×j + (vy·wz)j×k + + (vz·wx)k×i + (vz·wy)k×j + (vz·wz)k×k = Teniendo en cuenta que i × j = k; j × k = i; k × i = j; i × i = j × j = k × k = 0 = [(vy·wz)  (vz·wy)]i + [(vz·wx)  (vx·wz)]j + [(vx·wy)  (vy·wx)]k Por tanto: v×w = (vy·wz  vz·wy, vz·wx  vx·wz, vx·wy  vy·wx) Obsérvese que:

VECTORES EN EL ESPACIO Ejemplo 3. Dados los vectores u(1, 3, 0) y v(4, 1, 3), cuyas coordenadas están referidas a una base ortonormal, calcula: a) El producto escalar u·v b) El ángulo que forman los vectores u y v. c) El producto vectorial u × v d) El área del triángulo que tiene por lados los vectores u y v. a) u·v = (1, 3, 0)·(4, 1, 3) = 1·4 – 3·1 + 0·3 = 4 – 3 = 1 b) Por tanto:  = arc cos 0,0620  86º 26’ 40” c) d) Área TRIÁNGULO =

PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES VECTORES EN EL ESPACIO PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Sean los vectores u(ux, uy, uz), v(vx, vy, vz) y w(wx, wy, wz). Definimos el producto mixto de estos tres vectores: [u, v, w] = u·(v × w) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA |v×w| = área del paralelogramo v×w h = |u|·cos Pero [u, v, w] = |u|·|v × w|·cos = h·|v × w| = h·ÁreaPARALELOGRAMO u w  h v Es decir: |[u, v, w]| = h·ÁreaPARALELOGRAMO = Volumen PARALELEPÍPEDO

VECTORES EN EL ESPACIO PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES: EXPRESIÓN ANALÍTICA [u, v, w] = u·(v × w) = (ux, uy, uz)· PROPIEDADES [u, v, w] =  [u, w, v] [u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v] [u, v, w] = 0  u, v, w linealmente dependientes [au, bv, cw] = abc [u, v, w] [u + u’, v, w] = [u, v, w] + [u’, v, w]

FIN de VECTORES EN EL ESPACIO