La hipérbola

Definición: La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancia a los puntos fijos F(c,0) y F`(- c,0) es constante e igual a 2a.

Elementos.

Deducción de la ecuación de la hipérbola: Sea P(x,y) un punto genérico cualquiera de la curva: Por definición: F`P – PF = 2ª , o bien 𝑥+𝑐 2 + 𝑦−0 2 − 𝑥−𝑐 2 + 𝑦−0 2 =2a Que equivale a: 𝑥+𝑐 2 + 𝑦−0 2 =2𝑎+ 𝑥−𝑐 2 + 𝑦−0 2 Elevando al cuadrado y reduciendo términos se obtiene: 𝑐𝑥− 𝑎 2 =𝑎 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 Elevando al cuadrado y simplificando. 𝑐 2 − 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 𝑐 2 − 𝑎 2

Que equivale a escribir: 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑐 2 − 𝑎 2 =1 Como c>a , 𝑐 2 − 𝑎 2 es positivo. Haciendo (definiendo) 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎 2 , como el semieje imaginario, se obtiene: Escriba aquí la ecuación. 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 , que es la ecuación de la hipérbola de centro en origen y eje real en el eje OX. 𝑦 2 𝑎 2 − 𝑥 2 𝑏 2 =1 , que es la ecuación de la hipérbola de centro en origen y eje real en el eje OY.

Las ecuaciones generales de la hipérbolas se escriben como: (𝑥−ℎ) 2 𝑎 2 − ( 𝑦−𝑘) 2 𝑏 2 =1 , que es la ecuación de la hipérbola de centro en (h,k) y eje real paralelo en el eje OX. (𝑦−𝑘) 2 𝑎 2 − (𝑥−ℎ) 2 𝑏 2 =1 , que es la ecuación de la hipérbola de centro en (h,k) y eje real paralelo en el eje OY

Se define la excentricidad de la hipérbola como e= 𝑐(𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑎(𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙) Que equivale a decir:𝑒= 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 Como vemos e>1, lo cual coincide con la definición general de la sección cónica. Las ecuaciones de las directrices son: 𝑥=± 𝑎 𝑒 , cuando los focos están sobre el eje OX. y=± 𝑎 𝑒 , cuando los focos están sobre el eje OY.

La longitud del lado recto esta dada por: 𝐿𝑟= 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙. Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por: 𝑦=± 𝑏 𝑎 𝑥 , cuando el eje real o transversal es el eje OX. 𝑦=± 𝑎 𝑏 𝑥 , cuando el eje real o transversal es el eje OY.

Si el centro de la hipérbola es el punto de coordenadas (h,k) y el eje real es paralelo al eje OX , la ecuación de la hipérbola es: Si el centro de la hipérbola es el punto de coordenadas (h,k) y el eje real es paralelo al eje OY , la ecuación de la hipérbola es: (𝑦−𝑘) 2 𝑎 2 − (𝑥−ℎ) 2 𝑏 2 =1 (𝑥−ℎ) 2 𝑎 2 − ( 𝑦−𝑘) 2 𝑏 2

Las ecuaciones de las asíntotas están serán: 𝑦−𝑘=± 𝑏 𝑎 (𝑥−ℎ) , cuando el eje real o transversal es el eje OX. 𝑦−𝑘=± 𝑎 𝑏 (𝑥−ℎ) , cuando el eje real o transversal es el eje OY.

La forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los de coordenadas ox y oy esta dada por: 𝐴 𝑥 2 − 𝐵𝑦 2 +𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0 , siendo A y B del mismo signo.

Problemas de aplicación: 1.- Hallar la ecuación de la hipérbola de centro el origen , eje real sobre el eje de las ordenadas y que pase por los puntos (4,6) y (1,-3) 2.- Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos , las ecuaciones de las directrices , las correspondientes as las asíntotas , la longitud del Latus rectum , la excentricidad y la representación grafica de la hipérbola 9𝑥 2 − 16𝑦 2 =144

3.-Hallar la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los de coordenadas OY , de centro el origen , sabiendo que el Latus rectum vale 18 y que la distancia entre los focos es º12. 4.- Hallar la ecuación de la hipérbola de focos (0,±3) y de eje imaginario igual a 5. 5.- Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen , el eje real sobre el eje OX , excentricidad 1 2 7 y Latus rectum igual a 6.

6.- Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a las rectas 4𝑥−3𝑦+11=0 𝑦 4𝑥+3𝑦+5= 0 𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 144 25 7.- Hallar el lugar geométrico de los puntos (x,y) cuyas distancia al punto fijo (0,4) sea igual a 4/3 de la correspondiente a la recta 4y-9=0 8.- Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen , un vértice en (6,0) y por una de sus asíntotas la recta 4x-3y=0

9.- Hallar la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el punto (-4,1) , un vértice en (2,1) y semieje imaginario de magnitud 4 unidades. 10.- Dada la hipérbola 9𝑥 2 − 16𝑦 2 −18𝑥−64𝑦−199=0 , hallar El centro , los vértices, los focos, las ecuaciones de las asíntotas, graficar. 11.- Hallar la ecuación de la hipérbola que pase por el punto (4,6) y cuyas asíntotas sean 𝑦=± 3 𝑥

12.- Deducir la ecuación de la hipérbola conjugada de 𝑥 2 9 − 𝑦 2 16 =1 , hallar las ecuaciones de las asíntotas y las coordenadas de los focos de ambas hipérbolas. (Dos hipérbolas son conjugadas , si los ejes real e imaginario de una de ellas , son respectivamente , el imaginario y real de la otra. Para hallar la ecuación de la hipérbola conjugada de una dad la otra no hay mas que cambiar en esta los signos de los coeficientes de las variables).

13.- Hallar el lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuyo producto de las pendientes de las rectas que los unen con los puntos fijos (-2,1) y (4,5) es igual a 3. 14.- Demostrar que la diferencia de las distancia del punto 8, 8 7 3 de la hipérbola 64𝑥 2 − 36𝑦 2 =2.304 a los focos es igual a la longitud del eje real. 15.- Hallar los puntos de intersección de las hipérbolas 𝑥 2 − 2𝑦 2 +𝑥+8𝑦−8=0 3𝑥 2 − 4𝑦 2 +3𝑥+16𝑦−18=0

Gracias Montoya.-