Tema: Función Lineal y Función Cuadrática Matemática Básica para Economistas MA99 UNIDAD 6 Clase 11.2 Tema: Función Lineal y Función Cuadrática

Objetivos: Presentar la fórmula general de la función lineal e identificar sus elementos (pendiente y ordenada en el origen) Presentar la fórmula general de la función cuadrática e identificar sus elementos (vértice) Estudiar las aplicaciones de la función lineal y cuadrática.

Función Lineal f(x) = mx + b f(x) = b m es la pendiente de la ecuación de la recta b es la ordenada en el origen Cuando m = 0, la función se denomina “función constante” f(x) = b

Función Lineal -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3 2 1 -1 -2 -3 f(x) = mx + b b

Ejemplo:

Ejemplo: f(x) = x Función Identidad

f(x) = c Ejemplo: -2 -1 0 1 2 4 3 c 2 1 Función Constante

Función Lineal: Aplicaciones Los costos variables y fijos de producción de cierto artículo son $30 y $24,000, respectivamente. Si el precio es de $40, determine y grafique en un mismo sistema de coordenadas las funciones de costo e ingreso. Determine el punto de equilibrio y grafique la utilidad. Dadas las funciones de oferta: p – q =10 y de demanda: 2p + q = 80. Si la gráfica de la función de oferta se traslada en forma paralela de tal manera que el nuevo precio de equilibrio es 28. Hallar la nueva ecuación de la oferta y la cantidad de equilibrio correspondiente. Grafique.

Función Lineal: Aplicaciones Un consumidor gasta siempre todo su ingreso (I) en la compra de dos tipos de bienes (x,y) cuyos precios unitarios son Px y Py. Hallar y graficar una ecuación que represente todas las combinaciones posibles de cantidades que se pueden adquirir de cada bien. ¿Cómo se traslada la gráfica si: Px se triplica? Px se reduce a la mitad? I se duplica? Ambos precios se duplican?

Aplicaciones: Razón de cambio promedio x y P Q a b f(a) f(b) f

Aplicaciones: Razón de cambio promedio La siguiente tabla muestra las ventas en dos años diferentes en dos tiendas en una cadena de tiendas de descuento. Tienda Ventas en 1992 Ventas en 1995 A $100 000 $160 000 B $50 000 $140 000 Un estudio de los libros de la empresa sugiere que las ventas de ambas tiendas han crecido linealmente (es decir, las ventas pueden aproximarse por una función lineal con bastante precisión).

Aplicaciones: Razón de cambio promedio Encuentre una ecuación lineal que describa las ventas de la tienda A b) Encuentre una ecuación lineal que describa las ventas de la tienda B c) Encuentre la razón de cambio promedio en “a”.

Aplicaciones: Razón de cambio promedio d) Encuentre la razón de cambio promedio en “b”. e) Compare resultados Conclusión: Si f(x) = mx +b es una función lineal, entonces la razón de cambio promedio de y con respecto a x es la pendiente de la recta y = mx +b.

Costo Marginal Suponga que el costo de producir radios – reloj puede aproximarse mediante el modelo lineal C(x) = 12x + 100 donde C(x) es el costo en dólares por producir “x” radios- reloj. ¿Cuál es el costo de producir 0 radios-reloj? ¿Cuál es el costo de producir 5 radios- reloj? ¿Cuál es el costo de producir 6 radios- reloj? ¿Cuál es el costo de producir el sexto radio? ¿Cuál es el costo de producir el radio número 81? ¿Cuál es el costo adicional por radio?

Función Cuadrática f(x) = ax2 + bx + c Su gráfica es una parábola cuya forma dependerá de los valores de a, b y c. Por ejemplo:

Función Cuadrática Parábola

b, c son diferentes de cero Una vez puesta en su forma estándar se aprecia que la gráfica de f es una parábola de vértice (h, k) (valor extremo) Se abre hacia arriba si a > 0 Se abre hacia abajo si a < 0 a > 0 a < 0 b, c son diferentes de cero

Sea V(h,k) el vértice: f(h) = k es el mínimo valor de f cuando a>0 f(h) = k es el máximo valor de f cuando a<0 a > 0 a < 0

Ejemplos: Para cada función cuadrática Exprese f en forma estándar Trace la gráfica de f Determine el valor extremo de f. Intersecciones con los ejes. Determine el valor de las funciones f y g para x = -b/2a Analice.

Conclusión: La gráfica de la función : f(x) = a x2+ b x + c tiene su vértice en el punto de coordenadas: x= -b/2a ; y = f(-b/2a) = c - b2/4a

Ejemplos: Para cada función cuadrática Determine el valor extremo de f. Intersecciones con los ejes. Trace la gráfica de f.

Un caso particular Cuando se traza la gráfica de una función cuadrática, a la recta vertical que pasa por el vértice se le denomina “eje de simetría” Si la gráfica de una función cuadrática corta al eje “x” en dos puntos, la abscisa del vértice es igual a la semi-suma de las abscisas de estos puntos de corte.

Si la función cuadrática f se puede expresar f(x) = a(x-p)(x-q) entonces:

Ejemplo: Trace la gráfica de las siguientes funciones:

Otro caso particular Si tiene como datos al vértice y otro punto de paso de una parábola, ¿cómo puede obtener la regla de correspondencia de la función que tiene por gráfica a dicha parábola? En otras palabras, teniendo h y k más un punto (x,y) por donde pasa la gráfica, ¿podemos obtener la regla de correspondencia?

1) Utilizamos 2) Para obtener Ejemplo: Encuentre la regla de correspondencia de una función cuadrática cuya gráfica tiene el vértice (3;4) y pasa por el punto (6;,22). 1) Utilizamos 2) Para obtener 3) Por la información dada -pasa por el punto (6,22)- sabemos que f(6) = 22 4) Por lo tanto: 5) De donde: 6) Finalmente:

V(3,4) (6,22)

Función Cuadrática Aplicaciones Al producir q artículos el costo total está dado por 1,500 + 12q dólares y el precio por p = 40 – q/20 dólares. Determinar: La función de utilidad y el punto de equilibrio. Graficar. La utilidad máxima. ¿Para qué cantidad de artículos se produce ganancia? Dadas las ecuaciones de oferta: p = q2/20 – q/5 + 16/5 y de demanda: p = -q2/30 – q/5 +76/5: Graficarlas en un mismo plano. Determine el punto de equilibrio.