Fundamentos de Control Realimentado Clase 10 - Versión 1 - 2018 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2018. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Propiedades Básicas de los Sistemas de Control Contenido Propiedades comparativas de los SC a Lazo Abierto y Cerrado Rechazo a las perturbaciones en ambos tipo de SC Sensibilidad de una FT a cambios de parámetros y de ganancia Sensibilidad de la respuesta temporal de un sistema dinámico a cambios de parámetros y de ganancia Robustez de un sistema de control

Sistema de Control a Lazo Abierto 3 Sistema de Control a Lazo Abierto Y Hr Dol G R´ Conformador (prefiltro) Perturbación Controlador Planta G´ Referencia Formas de Hr : Existen 2 componentes de salida para 2 entradas diferentes Si la planta tiene un retardo puro e-sd t -d r(t+d) r ’ (t+d) Y1(s) = Hr(s) Dol(s) G(s) R(s) para W(s)=0 t -d r(t+d) r ’ (t+d) t r ’ (t) r(t) t r ’ (t) r(t) Y2(s) = G´(s) W(s) para R(s)=0 Se aplica el Principio de Superposición para R y W: Y (s) = Hr(s) Dol(s) G(s) R(s) + G´(s) W(s) Y (s) = Y1 (s) + Y2 (s)

Sistema de Control a Lazo Cerrado 4 Sistema de Control a Lazo Cerrado W Controlador Planta Dc(s) Y R´ U E - G(s) V + G´(s)/G(s) Hy´(s)/Hy(s) Hy(s) Hr(s) R Sensor Conformador Hr Dc G Hy Perturbación Conformador (prefiltro) Controlador Planta G´ Entrada de referencia Hy´ Sensor 3 Entradas y 1 Salida superpuesta Ruido Y1(s) R(s) Gcl 1(s) = = para W(s)=V(s)=0 1+Dc(s) G(s) Hy(s) Hr(s) Dc(s) G(s) Luego se aplica el Principio de Superposición Y2(s) W(s) Gcl 2(s) = = para R(s)=V(s)=0 1+Dc(s) G(s) Hy(s) G´(s) Y(s) = 1 + Dc G Hy Hr Dc G R(s) + Hr Dc G´ W(s) + Dc G Hy´ V(s) Para la perturbación W y el ruido V se deben identificar las FT´s: G’(s) y Hy’(s), las cuales explican la causalidad de la perturbación Y3(s) V(s) Gcl 3(s) = = para R(s)=W(s)=0 1+Dc(s) G(s) Hy(s) Dc(s)G(s) Hy´(s)

5 Disturbios Los disturbios engloban tanto a las perturbaciones como a los ruidos. Ejemplo 1) perturbación de corta duración. Reactor químico con una perturbación en la concentración del producto c(t) : Rayo p Válvula 1 Válvula 2 Compresor p1 p2 Reactor Reactivo 1 Reactivo 2 t c(t) c(t) Concentración del producto

(velocidad, aceleración) 6 Disturbios Ejemplo 2) Ruido persistente de alta frecuencia Sistema de amortiguación con elementos defectuosos Fricción en el cilindro de un amortiguador Sistema de amortiguación Movimiento (velocidad, aceleración) t y(t) vibración y(t) x(t) Camino pedregoso perfil del suelo

Sistema de control con realimentación unitaria 7 Sistema de control con realimentación unitaria Controlador Planta Y1(s) R(s) Gcl(s) = = para W(s)=0 1+Dc(s) G(s) Dc(s) G(s) 1+Dc(s) G(s) Dc(s) G(s) G(s) Y(s) = Gcl(s) R(s) + Gw(s) W(s) = R(s) + W(s) Objetivos de control: doble propósito Y2(s) W(s) Gw(s) = = para R(s)=0 1+Dc(s) G(s) G(s) 1) Diseñar Gcl(s) para lograr Buena Performance 2) Diseñar Gw(s) para lograr Rechazo a la Perturbación Y(s) = Gcl(s) R(s) + Gw(s) W(s)

Rechazo a las Perturbaciones 8 Rechazo a las Perturbaciones Control a lazo abierto de velocidad de un motor DC Torque de carga (perturbación) rpm de referencia rpm del motor Prefiltro Controlador La estabilidad depende de los polos de Hr , Dol y del polo s=-1/. Todos ellos deben estar en el semiplano izquierdo s La performance en cambio, depende de la calibración ! W m(s) = Hr(s) Dol(s) Wref(s) + Tl(s) A ts+1 B Notar que la perturbación se traslada a la salida produciendo error ! No existe una forma de atenuar TI a través del controlador

Control a lazo cerrado de la velocidad de un motor DC 9 Rechazo a las perturbaciones Control a lazo cerrado de la velocidad de un motor DC Torque de carga rpm de referencia rpm del motor La performance AHORA depende de la realimentación ! W (s) = Wref(s) + A/(ts+1) 1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1) Hr(s) Dcl(s) Tl(s) B/(ts+1) La influencia de la perturbación en la salida puede ser atenuada a través del controlador !

COMPARACIÓN 10 Control a LAZO ABIERTO de velocidad de un motor DC B A W (s) = Hr(s) Dol(s) Wref(s) + Tl(s) A ts+1 B No existen grados de libertad para atenuar la perturbación ! Control a LAZO CERRADO de velocidad de un motor DC W (s) = Wref(s) + A/(ts+1) 1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1) Hr(s) Dcl(s) Tl(s) B/(ts+1) La ganancia controlador Dcl puede aumentarse para atenuar la incidencia de la perturbación Tl en la salida W (s) !

Rechazo a las perturbaciones en estado estacionario 11 Rechazo a las perturbaciones en estado estacionario Si Tl es un escalón, Tl(s)=a/s , su influencia sobre la salida en lazo cerrado se aprecia en el estado estacionario de la siguiente forma: B/(ts+1) 1+Hy(s) Dcl(s) A/(ts+1) a s lim s0 = a 1+Hy(0) Dcl(0) A B Ww() = B/(ts+1) a s lim s0 = B Ww() = Y en el SC de LA : Al denominador : Hy(0) Dcl(0) A se denomina: GANANCIA DE LAZO ABIERTO en estado estacionario Eligiendo la GANANCIA DE LAZO ABIERTO tal que: Hy(0) Dcl(0) A>>B, se logra disminuir el efecto de la perturbación. La ganancia del controlador es la variable de diseño en el rechazo a la perturbación

Efecto de Variación de Parámetros en los SC 12 Efecto de Variación de Parámetros en los SC Definición 1: Se denomina SENSIBILIDAD de GANANCIA de un Sistema de Control a la incidencia provocada por una VARIACIÓN de los PARÁMETROS de la planta sobre la GANANCIA del sistema de control Definición 2: Se denomina SENSIBILIDAD de SALIDA de un Sistema de Control a la incidencia provocada por una VARIACIÓN de los PARÁMETROS de la Planta sobre la SALIDA del sistema de control Estas incidencias se describen a través de una función denominada Sensibilidad. Es distinta para los casos de SC en LA y LC La Sensibilidad expresa dicha variación de Ganancia o de Salida del sistema de control en forma normalizada, es decir porcentual del parámetro.

Función de Sensibilidad de Ganancia en 13 Función de Sensibilidad de Ganancia en el SC de Lazo Abierto Sistema de Control a lazo abierto – Ejemplo Motor DC Sea la ganancia Kol del controlador y Tol =(Kol A) la ganancia del sistema de control de LA con Hr=1. Una variación causada por el cambio de la ganancia A de la planta (variación paramétrica) produce: dA A La variación normalizada del parámetro A es: La función de Sensibilidad de la Ganancia en LA se define a través de: A ol S = 1 La variación de Ganancia de la Planta incide totalmente en la Ganancia de LA Sensibilidad de Ganancia de LA

Función de Sensibilidad de Ganancia en 14 Función de Sensibilidad de Ganancia en el SC de Lazo Cerrado Sistema de Control a lazo cerrado – Ejemplo Motor DC Sea la ganancia de lazo cerrado: La variación de Tcl es: Función de Sensibilidad A cl S Tcl = Tcl A  A cl Tcl A Normalización Función de Sensibilidad de Ganancia de LC: cl S A cll S = La variación de Ganancia de la Planta incide parcialmente en la Ganancia de LC

Resumen: Sensibilidad de Ganancia 15 Control a LAZO ABIERTO de velocidad de un motor DC A ol S = A ol S = 1 Control a LAZO CERRADO de velocidad de un motor DC A cl S = A cl S = CONCLUSIÓN: Si >> 1 , la Sensibilidad de Ganancia del Sistema de LC disminuye significativamente con una alta ganancia del controlador y es menor que la Sensibilidad de Ganancia de LA

Sensibilidad de Salida 16 Estudiemos la respuesta temporal y(t) de un sistema dinámico G(s) ante una entrada arbitraria u(t). Asumamos una variación pequeña de un parámetro q del sistema dinámico. La salida luego de una variación dq y y(t,q) dq = y(t, q) + q y dq + dq 2 +… y(t, q +dq) dy q y dq dy = q y Con la función de sensibilidad de salida La función de sensibilidad se puede calcular por 1) la expresión analítica de y(t), o 2) a través de la Transformada de Laplace y = o e -st ds q y o y e -st ds q L q y = q Y(s) q GU L -1 y =

Sensibilidad de Salida 17 Sensibilidad de Salida Definición: dada la salida “y” de un sistema de control se define Sensibilidad de Salida respecto a un parámetro  como: o también en una forma logarítmica con d(ln())/d=1/: Usualmente  es un coeficiente de la planta como por ejemplo, la ubicación de un polo o cero, o la ganancia.

Sensibilidad de Salida ante cambios paramétricos 18 Sensibilidad de Salida ante cambios paramétricos Analicemos las FT’s de los sistema a LA y a LC W (s) = Dol(s) Wref(s) A ts+1 A lazo abierto W (s) = Wref(s) Dcl(s) A ts+1 1 + A lazo cerrado Si =t es el parámetro de influencia, luego las sensibilidades son: Y(s)   = W t -s ts+1 y(t)    Para Lazo Abierto Y(s)   = W t -s ts+1+DclA Para Lazo Cerrado

Sensibilidad de Salida ante cambios Paramétricos (ejemplo ) 19 Sensibilidad de Salida ante cambios Paramétricos (ejemplo ) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Tiempo (seg) Planta: A=2, =0.8 SC LA: Dol=0.5 SC LC: Dcl=10, Variación param.: =-20% ycl +ycl yol +yol ycl yol ycl +ycl 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 ycl ZOOM yol +yol yol  sólo afecta el transitorio!

Resumen de Sensibilidad de Salida 20 Resumen de Sensibilidad de Salida Aumentando la ganancia del controlador Dcl es posible: 1) REDUCIR LA SENSIBILIDAD a variaciones de las constantes de tiempo comparativamente con el caso de lazo abierto y   = y t -s ts+1 Lazo abierto y   = y t -s ts+1+DclA Lazo cerrado 2) Aumentando la ganancia del controlador Dcl es posible reducir las constantes de tiempo del sistema lo cual implica AUMENTAR la RAPIDEZ de la planta controlada en lazo cerrado 3) Pero también, aumentando la ganancia del controlador Dcl en forma desmesurada, el SC puede entrar en un estado de INESTABILIDAD.

Propósitos de diseño y análisis 21 Propósitos de diseño y análisis Al doble objetivo de control se suma el análisis de sensibilidad. En resumen: 1) Diseñar Gcl(s) para lograr Buena Performance 2) Diseñar Gw(s) para lograr Rechazo a la Perturbación 3) Análisis de sensibilidad ante parámetros inciertos del modelo para constatar una buena robustez al sistema de control, es decir calcular para un porcentaje de variación del parámetro q GU L -1 y = q = dy q . Simultáneamente constatar la sensibilidad de ganancia de LC