OLIMPIADA MATEMÀTICA 2009 FASE autonómica PRIMER CICLE PROVA INDIVIDUAL BENICARLÓ, 6, 7 DE JUNY

1. - Una familia está formada per una mare i uns quants fills 1.- Una familia está formada per una mare i uns quants fills. La mitjana aritmètica de les seues edats és 20. El pare té 48 anys i la mitjana aritmètica de les edats de la mare i els fills és 16. Quants fills hi ha en la familia? SOLUCIÓ: Un problema de plantejament: Es descriu una situació i aleshores pregunten el valor de alguna cosa desconeguda. Siga N els nombre de fills de la familia i T la suma de totes les edats. Tindrem de l’enunciat I restant les dues equacions

2.- Una esfera está inscrita en un cub de 24 metres quadrats de superficie. Un segon cub está inscrit en l’esfera. Quina és la superficie en metres quadrats del cub inscrit?. SOLUCIÓ: Cada cara del cub exterior té una superficie de (24/6 =) 4 metres quadrats. Per tant el costat del cub exterior és 2 metres, que concedeix amb el diametre de l’esfera inscrita, que coincideix en la diagonal del cub inscrit. Si L es el costat del cub inscrit, per Pitàgores L2 +L2 + L2 = 22  L2 = 4/3 Així, la superficie del cub inscrit és 6 · (4/3) = 8 m2

3. - El punt P está dins del triángle equilàter ABC 3.- El punt P está dins del triángle equilàter ABC. Els punts Q, R i S són els peus de les perpendiculars traçades des de P als costats AB, BC i AC, respectivament. Sabem que PQ = 1; PR = 2 i PS = 3; quant val AB? SOLUCIÓ: Dibuixem el triangle de marres i els punts de l’enunciat: I ara afegim alguns altres segments que faciliten l’aparició de figures per tractar el problema

Surten els triangles ABP; BCP i CAP Surten els triangles ABP; BCP i CAP. L’àrea de ABC és la suma de les àrees de ABP, BCP i CAP. Si x és el costat del triangle inicial tindrem que la suma d’àrees és: Per altra banda l’àrea del triangle ABC és: Per tant

4.- L’Helena pinta blanques o negres les cares d’una col·lecció de cubs de fusta i en cada cub fa servir tots dos colors. Quants cubs pot aconseguir que tinguen repartits els colors de manera diferent?. Justifica la teua resposta.

SOLUCIÓ: Hi ha que vore quants cub eixen de cada configuració possible a) 5 cares negres i 1 blanca..........(1) 1 b) 4 cares negres i 2 blanques....(2) 2 c) 3 cares negres i 3 blanques.......(2) 2 8 d) 2 cares negres i 4 cares blanques ...(2) 2 e) 1cara negra i 5 blanques.....(1) 1

5. - Els primers 2009 enters positius s’han escrit en base 3 5.- Els primers 2009 enters positius s’han escrit en base 3. Quants d’ells son capicues? 2009 = 22021023 = 2·36 + 2·35 + 0·34 +2·33 + 1·32 +0·31 + 2·30 SOLUCIÓ: Els capicues son els números que començen i acaben igual: 22; 202, 2112, 12021,...... i per tant sols s´han de generar fins la mitad a) De dos xifres 2 6 b) De tres xifres 6 c) De quatre xifres 18 d) De cinc xifres

e) De sis xifres 18 54 f) De set xifres En total: 2 + 6 + 6 + 18 + 18 + 54 = 104 Però hem de llevar els capicues de set xifres majors que 22021023 = 2009 que son: g) Que començen en 221_ _ _ _ 3 h) Que començen en 222 _ _ _ _ 3 En total, capicues en base 3 menors que 22021023 = 2009 hi han 104 – 6 = 98