UNIDAD 3 RELACIONES Y FUNCIONES “Nociones de Teoría de Conjuntos, Relaciones y Funciones” Dr. Daniel Tapia Sánchez

En esta actividad aprenderás a: Definir relación y función, estableciendo las diferencias entre un concepto y otro. Determinar si una relación es función. Determinar el Dominio y Recorrido de una función. Representar información cuantitativa a través de gráficos y esquemas.

Estos son los temas que estudiaremos: 3.1 Nociones de teoría de conjuntos 3.1.1 Definiciones 3.1.2 Producto Cartesiano 3.2 Relaciones 3.2.1 Definición 3.3 Funciones 3.3.1 Definición 3.3.2 Evaluación de funciones 3.3.3 Dominio y recorrido de una función

3.1. Nociones de Conjuntos 3.1.1. Definiciones Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos, considerados como una sola unidad. Pertenencia (Є) : Si un objeto “p” es elemento de un conjunto C, entonces p pertenece a C y su notación es: p Є C. Si p no pertenece a C, se denota: p Є C Conjunto vacío (Ǿ): Es aquel conjunto que no posee elementos. También se denota como: { } Subconjunto ( ): Un conjunto A es “subconjunto” de otro conjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, son también elementos de B.

1.2. Producto Cartesiano A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B } Ejemplo: Dados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A × B ) está formado por cada uno de los pares ordenados donde el primer elemento pertenece a A y el segundo a B : A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B } Ejemplo: Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces: A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}

3.2. Relaciones 3.2.1. Definición: Ejemplo: Una “relación” de un conjunto A a un conjunto B, es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (A x B), determinado por una, o más condiciones. Ejemplo: Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que: R = { (a,b) Є A x B / b es múltiplo de a} entonces: A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)} R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B

El par (2,4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2. Los pares (2,6) y (3,6), también están relacionados, ya que 6 es múltiplo de 2 y de 3. Notación: (2,4) Є R ó 2 R 4 ó R (2) = 4 (2,6) Є R ó 2 R 6 ó R (2) = 6 (3,6) Є R ó 3 R 6 ó R (3) = 6

Utilizaremos el ejemplo anterior para explicar algunos conceptos. R = {(2,4); (2,6); (3,6)} A x B R A B 2 3 7 4 5 6 Conj. de partida. Conj. de llegada Pre-imágenes {2,3} Imágenes {4,6} De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que: 2 es “pre-imagen” de 4 y de 6 , y 4 es “imagen” de 2

3.3. Funciones 3.3.1. Definición Ejemplos: R A B a b c d e f R (c)= e Una “función” es una relación, tal que todo elemento del conjunto de partida tiene imagen, y ésta es única. Ejemplos: 1. Determine si la siguiente relación es función: R A B a b c d e f R (c)= e R (c)= f R NO es función, porque c tiene dos imágenes.

2. Determine si la siguiente relación es función: B 3 5 4 6 7 9 R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tiene imagen y ésta es única. 3 5 4 6 7 9 A B f f (3) = 6 f (5) = 6 f (4) = 7 Además: Dominio(f) = A Recorrido(f) = {6,7}

3.3.2. Evaluación de funciones Ejemplo 1: Sea f una función, definida en los reales tal que: f(x) = 2x + 3. f Determinar: IR IR a) f (1) = 2·1 + 3 = 5 1 3 7 12 … x 5 9 17 27 … f(x) b) f (3) = 2·3 + 3 = 9 c) f (7) = 2·7 + 3 = 17 d) f (12) = 2·12 + 3 = 24 + 3 = 27

e) Determinar f (4) - 3•f (0) 2•4 + 3 – 3(2•0 + 3) 2•(-1) + 3 = 8 + 3 – 3•(3) 1 = = 11 – 9 = 2

3.3.3. Dominio y Recorrido Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3. f(x) = 2x + 3 es “función lineal”, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR

¿es siempre posible calcular este cociente? Ejemplo 1: Sea f(x) = 2 x-1 ¿es siempre posible calcular este cociente? Respuesta: Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 1. f Luego, Dom(f) = IR – {1} IR IR 2 3 -1 x 1 2 1 -1 … f(x)

Ejemplo 2: ¿Por qué? Ejemplo 3: f(x) = x x-3 y = x yx – 3y=x x = 3y Sea f(x) x + 2 Dom(f) = [ -2, +∞ ] ¿Por qué? Ejemplo 3: Sea f(x) = x x-3 Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto de 0, es decir: x ≠ 3. Luego, Dom(f) = IR – {3} Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x. y = x x-3 yx – 3y=x x = 3y y-1 yx – x=3y y(x – 3)=x x(y – 1)=3y Luego, Rec(f) = IR – {1}

Ejemplo 4: Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones, determinando el dominio y recorrido de aquellos que representen una función. Dom(f) = [-2,5 , 5] Dom(f) = IR Rec(f) = [-1,8 , 3,2] Rec(f) = {2}

Dom(f) = [-2,5 , 2,5] No es función Rec(f) = ]-∞ , 4]