Fundamentos de Control Realimentado Clase 29-30 Versión 1 - 2018 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2018. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2013

Criterio de Estabilidad de Nyquist Contenido: Definiciones de Márgenes de Ganancia y Fase Vínculos entre DN, LR y DB Estabilidad en sistemas con Retardo Puro Aplicación del Criterio de Nyquist a SC. Ejemplos.

¿Cómo simplificar el análisis de Estabilidad con DN? Para diseños de SC es más conveniente aplicar la ecuación característica: DG(jw)+1/K=0 o bien =DG(jw)=-1/K y tomar algún valor fijo de K para el trazado del DN y desplazar el punto -1 transformado en -1/K . se usa una sola: o bien la curva que tiene K=1 (es elección normal de K), o en su defecto la de K=K*. Con ello, en lugar de representar múltiples curvas, Plano s Re(s) Im(s) C2 DG=-1/K Plano s Re(s) Im(s) -1 C2 KDG=-1 CN de referencia `con K=1 w=- w>0 w=0+ w=0- w<0 K1 w= K=1 w>0 w=0+ w=0 - w<0 w=- w= K3 K2 -1 -1 K1 -1 K2 -1 K3 La ganancia más alta, es decir K3, se acerca más que las anteriores al DN de referencia con K=1 K3>K2>1>K1>0

Definiciones sobre un Sistema de tipo 1 KDG=K/s(s+1)(s+2) MG: Margen de Ganancia Plano s Re(s) Im(s) -1 MF: Margen de Fase j El MG y el MF son números reales positivos. Por lo tanto se definen normalmente para sistemas de control estables Estabilidad Performance baja Inestabilidad Buena performance K>K* w=0+ w= Su aplicación es sobre todo para sistemas KDG de tipo 1 MG K<K* MF Adicionalmente, MG es menor a uno y MF << 90º K* Ambos parámetros reflejan la buena performance al igual que Mp y  en el tiempo. Nuevamente quedan zonas de estabilidad, buena performance e inestabilidad

Otra Definición para sistemas de tipo 1 y 2 Plano s Re(s) Im(s) VM -1 VM: Margen vectorial w=0+ w= w>0 w=0+ VM Mínima distancia entre el punto -1 y una curva de Nyquist que pase a la derecha del punto -1 Es decir, la definición es válida para sistemas de control estables.

Diagrama de Nyquist vs. Diagrama de Bode Ejemplo 1: DIAGRAMA DE NYQUIST KDG=K / (s+1) C2 Re(s) Im(s)) w<0 DIAGRAMAS DE BODE K /KG(jw)/=/KG(-jw)/ q log10w 90° 135° -135° -90° 0° 45° -45° w<0 w>0 -20dB/dec K K -wc wc w=0 - K w=- w= 0 dB log10w -1 w=0+ Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): w>0 -wc wc Estable para cualquier K ! No existe el tramo III, pues la fase es continua, o equivalentemente, porque no exsite ningún integrador adicional que lleve la ganancia a infinito!  N=0 Como P=0 Z=0

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Ejemplo 2: KG=K/(s+1)2 ESTABILIDAD PRÁCTICA La estabilidad del lazo de control para sistemas estables KDG de tipo 0, 1 y 2, con o sin retardo puro puede analizarse con la rama I de la Curva de Nyquist solamente Plano s Re(s) Im(s) Magnitud de KG (jw): /KG(jw)/=/KG(-jw)/ log10w -40dB/dec w<0 w>0 -1 1 0 dB w<0 w=- C2 Re(s) Im(s) -1 Estable w=0- w=0 w=0+ -1 w>0 w= para todo K>0 El punto -1 queda a la izquierda de la curva K1 Fase de KG(jw) = Fase de -KG(-jw): q log10w 180° -180° 0° w<0 w>0 K2>K1 No existe un tramo III, pues la fase es continua, o equivalentemente, porque no exsite ningún integrador adicional!  N=0 Como P=0 Z=0 Estable para cualquier K !

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Re(KG) Im(KG)) Ejemplo 3: KDG=K/s2(s+1) w=0- C1 s jw w=0+ w=0 Magnitud de KG(jw): /KG(jw)/=/KG(-jw)/ f2 f1 f3 a(0)=f1+f2+f3=0 N=2 N=1 N=? log10w w<0 w>0 -40dB/dec -60dB/dec -1 1 w>0 0 dB w=0+ w= -1 w=0 w=0 - w=- Fase: -KG(-jw) y KG(jw) q log10w 180° 270° -270° -180° 0° w<0 w>0 w<0  N=2 Como P=0 Z=2 1 vuelta Sí existe un tramo III porque exsite al menos un integrador, en este caso dos Reducimos K, pero el SC no sale de la inestabilidad Inestable para cualquier K !

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Re(s) Im(s) -1 KG=K/s3(s+1) w=0- C1 s jw w=0+ w=0 Ejemplo 4: w=0+ w= w>0 /KG(jw)/=/KG(-jw)/ Magnitud de KG(jw): log10w w<0 w>0 -60dB/dec -80dB/dec -1 1 f3 f2 f1 f4 a(0)=f1+f1+f2+f3=0° a(0 -)=f1+f1+f2+f3=270° a(0+)=f1+f1+f2+f3=-270° N=2 N=1 N=? 0 dB w=- w=0- w<0 w=0 Fase: -KG(-jw) y KG(jw) 1.5 vueltas q log10w 270° -270° -360° 0° w<0 w>0 360°  N=2 Como P=0 Z=2 Inestable para cualquier K !

Curva de Nyquist vs. Diagrama de Bode Re(s) Im(s) w=0- w<0 w=0+ w=- w>0 -1 w= w=0 KG=K/s4(s+1) Ejemplo 5: /KG(jw)/=/KG(-jw)/ Magnitud de KG(jw): log10w w<0 w>0 -80dB/dec -100dB/dec -1 1 Cálculo de las imágenes del origen de C1 El solo conocimiento de la imagen de w=0, no ayuda a describir el sentido de giro. También hay que calcular las imágenes de w=0- y w=0+, a saber: Interior de C2 es todo el plano s pues KDG es de Tipo>1 0 dB Fase: -KG(-jw) y KG(jw) 2 vueltas q log10w 360° -360° -450° 0° w<0 w>0 450° C1 s jw … f2,3,4,5 w=0- w=0+ w=0  N=2 Como P=0 Z=2 =-f1-f2,3,4,5= -4x(90º)=-360º 0º f1 =-f1-f2,3,4,5=0º =-f1-f2,3,4,5=4x90º=360º Inestable para cualquier K !

Curva de Nyquist para polos complejos Ejemplo 6: KDG=Kwn2/(s2+2zwns+wn2) C2 Re(s) Im(s) /KDG(jw)/=/KDG(-jw)/ Magnitud de KDG(jw): log10w w<0 w>0 -40dB/dec 0 dB w<0 w=-wn s=o o Mr(n)dB = -20 log10(2) Aumenta  w=-wn z =0 -1 w>wn w=- w=0 w= w<wn w=wn w=wn w=wn2 Fase de KDG(jw) = Fase de -KGD(-jw): q log10w 180° w<0 w/>0 -180° 0° Máxima distancia (resonancia) 2 w=wn1 1 w>0 w=wn Cambios de z no actúa como ganancia K pues también produce cambio de fase  N=0 Como P=0 Z=0 Marginalmente estable para wn, z =0 y cualquier K ! Estable para cualquier wn, z>0 y K !

Diagrama de Nyquist vs. Lugar de las Raíces Estudio de 4 casos con múltiples integradores jw s C1 f2,3,4 f1 0 - 0+ K=1 w>0 w=0 - w<0 w= Plano s Re(s) Im(s) -1 w=0+ -1 jw s w=0+ w=0 - Plano s Re(s) Im(s) C1 C2 f2,3 f1 0 - 0+ K=1 w>0 w<0 w= -1 jw s - 0.5 C1 C2 f2 f1 0 - 0+ K=1 w>0 w=0+ w=0 - w<0 w= Plano s Re(s) Im(s) -1 jw s C1 f2,3,4.5 f1 0 - 0+ K=1 w<0 w=0+ w=0 - w>0 w=- C2 Re(s) Im(s) w=0 w= KG=K/s (s+1) KG=K/s2(s+1) w= K Re(s) Im(s) -1 Plano s w>0 w=0 w= K w>0 Re(s) -1 Plano s Im(s) w= K Re(s) Im(s) -1 Plano s w>0 w=0 w= K w>0 Re(s) -1 Plano s Im(s) w=0 KG=K/s4(s+1) KG=K/s3(s+1)

Diagrama de Nyquist para Sistemas Inestables Ejemplo 6: C2 Re(s) Im(s) KDG=K(s+1)/s((s/10)-1) P=1 10 -2 -1 1 2 3 -60 -40 -20 20 40 -270 -225 -180 -135 -90 w=0+ Im(s) Plano s Re(s) Dibujamos el DB con la ganancia crítica C2 K2 K1 K* grados Db C1 w>0 w= w=0+ y  0° f2  180° a = y - f1 - f2  -270° f190° -1/K1 -1/K2 y  0° f2  -180° a = y - f1 - f2  270° f1 -90° Frecuencia log w=0 w<0 w=- w=0 -1/K* f1  0° y  0° f2  -180° a = y - f1 - f2  180° w=0 - NOTA IMPORTANTE: En general, el Diagrama de Bode no es apto para determinar la estabilidad en sistemas inestables. Sin embargo, este es un caso coherente para la estabilidad. En este caso de polo inestable y en otro caso de cero inestable, la rama III no puede deter- minarse por DB, pero sí con el análisis de a = yi -  fi w=0 - Estabilidad marginal  N=1 Como P=1 Z=2  N=-1 Como P=1 Z=0 El Lugar de las Raíces al igual que el Diagrama de Nyquist son válidos en todos los casos Finalmente si K=K1<K* K1 < K* SC inestable Ahora si K=K2>K* Para el DN K=K* K2 > K* SC estable

Verificación con Lugar de las raíces KG=K(s+1)/s((s/10)-1) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -3 -1 1 3 Plano s K*=1 K<K* estable marginalmente estable inestable K>K* K<K*

Ejercicio 1 de Estabilidad con DN Sea la FTLA de un sistema tipo I: KG=K(s+1)/s((s/10)-1) 1) Trazar el Diagrama de Nyquist a mano alzada. Además se sabe por Bode que con K=1  |KDG|=1 y =-180º Re(s) Im(s) w=0+ w=0 - w>0 w<0 w=- w=0 w= C2 2) Emplear el método “-1/K” para mostrar al sistema marginalmente estable. ¿Dónde esta ubicado ese K* en el DN? Rta: exactamente donde no se produce ningún encirculamiento (ver indicación en DN) 3) Con el DN decir si el sistema es estable con K=0.8? ? Si es inestable, ¿cuántos polos inestables tiene el SCLC? -1/K=-1.25 -1/K=-0.5 -1 -1/K*=-1 Rta: K=0.8 -> -1/K=-1.25 Por lo tanto el sistema es inestable y tiene 2 polos inestables: Z=N+P=1+1 4) Conel DN decir si el sistema es estable con K=2? Si es inestable, ¿cuántos polos inestables tiene el SCLC? Rta: K=2 -> -1/K=-0.5 y Z=N+P=-1+1 Por lo tanto el sistema es estable

Ejercicio 2 de Estabilidad con DB Calcule las K=K* para que el sistema de control sea marginalmente estable (s+5)2(s+25) KDG(s)= K (s+2)3 s2(s+1) 1 La segunda ganancia crítica es: K=K*=891 La primer ganancia crítica es: K=K*=33.5 Sea: -200 -100 100 200 10 -3 -2 -1 1 2 3 -270 -225 -180 -135 30,5 dB 30,5 dB = 1030,5/20 = 33,5 Magnitud, dB 59 dB =1059/20 = 891 Fase, o

Curva de Nyquist para Sistemas de Fase No-Mínima Ejemplo 7: KG=K(s-1)/s((s+1) w>0 C2 w=- Plano s Re Im(s) w=0+ w=0 - w= Im(s) Plano s Re(s) C1 y  180° f1  0° f2  0° w=0+ -1/K w=0 -1/K3 -1/K4 -1/K1 -1/K2 w=0 a = y - f1 - f2  180° w=0 - w<0 Concluimos por el mapeo de =0- a =0+ que  va de 270º a 90º pasando por 180º NOTA IMPORTANTE: El Diagrama de Bode NO es apto para determinar la estabilidad con ceros inestables! El Lugar de las Raíces sí, VERIFICAR ambos!  N=1, y como P=0  Z=1 El sistema es inestable para todo K>0 Y si K=K3 es negativo? Y si K=K4 es muy chico y negativo -1/K4 no es encerrado y el sistema es estable El diagrama de Nyquist encierra 2 veces al punto -1/K3

Verificación con Lugar de las raíces KG=K(s+1)/s((s/10)-1) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -3 -1 1 3 K positivo -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -3 -1 1 3 K negativo X K3 K4 K1, K2

Diagrama de Nyquist para Sistemas de Fase No-Mínima Ejemplo 7: KG=K(s-1)/s(s+1) NOTA IMPORTANTE: El Diagrama de Bode NO es apto para comprobar estabilidad -40 -30 -20 -10 10 20 30 40 50 Magnitude (dB) -2 -1 1 2 -90 -45 45 90 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) Indica ESTABILIDAD para todo K, sin embargo el Sistema de Control es INESTABLE

Sistema de Retardo Puro KG=Ke-sTd Ganancia: /G(jw)/= 1 = 0 dB Fase: q = -wTd C2 Re(s) Im(s) 10 -2 -1 1 2 3 -40 -20 20 40 60 -0 -360 -270 -180 -90 Magnitud (dB) Fase(grados) Frequenia (rad/sec) K=2 K=1=K* -1/0.5 -1/K*=-1 -1/2 estable inestable K=0.5 -wTd La frecuencia sigue creciendo y la fase también proporcionalmente a ella K e-sTd r y u e -  N= Como P=0 Z=  N=0 Como P=0 Z=0

Lugar de la Raíz de un Retardo Puro G(s) = e-s X -30 -20 -10 10 20 30 -60 -40 40 60 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 X Pade (2,2)

Sistemas que incluyen Retardo Puro KG=Ke-sTd/(s+1) Ejemplo 8: Ganancia: /KG(jw)/ = 1/sqrt(2+1) Fase: q = -wTd - atan() -20 10 -2 -1 1 2 3 -60 -40 20 40 -0 -360 -270 -180 -90 Magnitud (dB) Fase(grados) Frequenia (rad/sec) M K2 C2 Re(s) Im(s) Re(s) Im(s) K=1 -20 dB/dec K* K3 -1/K3 a +wTd a -1/K4 -1/K* -1/K2 -1  -wTd -atan(w) Td Nyquist para: 1/(s+1) Aumentando Td el punto -1/K4 (o el -1/K2) se pueden encircular más veces, pues las espiras se ensanchan al cambiar la fase más rápido! El punto -1/K4 es rodeado por 4 espiras, por lo tanto N=4  Con K3N=0 Como P=0 Z=0 Con K1N=0 Marginalmente estable Con K2N=2 Como P=0 Z=2  Con K=1N=0 Como P=0 Z=0

Retardo puro en sistemas de control de tipo 1 Sin Retardo puro: Con retardo puro: s(s+1)(s+2) Gd(jw)= K e -Td s s(s+1)(s+2) KG(jw)= K Primero repetimos KG(j) y deformamos la curva w=0+ w= -1 C2 Re(s) Im(s) j C2 Re(s) Im(s) j -1 w=0+ w= -1 C2 Re(s) Im(s) j s(s+1)(s+2) K s(s+1)(s+2) K e -Td s w=0+ w= w1 |G(jw1)|=|Gd(jw1)| q (w1) |G(jw1)|=|Gd(jw1)| w1 q (w1)+(-Tdw1) Con la misma ganancia K se hizo INESTABLE !

Sistema integrador con Retardo Puro Cálculo de los puntos de cruce de G(jw) con el eje real negativo G(s)= e -Td s s Sea por ejemplo: (– sen Tdw – j cos Tdw) G(jw)= e -jTdw w = 1 En la frecuencia: Cuando la parte imaginaria se hace 0, existe un cruce. La condición es: w0 = 2Td (2n+1)p para n=0,1,2,… = 0 w cos Tdw G(jw0)= (-1)(1+n) 2Td (2n+1)p para n=0,1,2,… G()=0 En el límite: p -2Td G(jp/2)= Con valores de Td muy grandes, las espiras se comprimen y se juntan desplazando un mayor número de puntos de corte a la izquierda y por lo tanto aumentando el número de encirculamientos N (n=0) 1er. corte ocurre en semieje real negativo: -2Td 3p G(j3p/2)= 3er. corte ocurre en semieje real negativo: (n=2) 5p G(j3p/2)= -2Td 5to. corte ocurre en semieje real negativo: (n=4)

Márgenes de Estabilidad

Sistemas Condicionalmente Estables MG: Margen de Ganancia MF: Margen de Fase C2 Re(s) Im(s) (s+5)2(s+25) KDG(s)= K (s+2)3 s2(s+1) 1 Sea: Se sabe por DB que para K=33.5 el sistema es marginalmente estable (y es la 1ra K*) w=0+ w= w>0 MF MG -1 Si aumentamos más la ganancia, se produce el segundo corte cuando la curva se corre a la izquierda y toca nuevamente el punto -1. Esto ocurre cuando K=K*=891. Semicircunferencia de radio 1/K* Estos Sistemas de Control con dos K* o más ganancias críticas, se llaman CONDICIONALMENTE ESTABLES Se entiende que: Si se disminuye K a un valor menor que el 1er K*  MF negativa  INESTABLE Si se aumenta K a un valor mayor que el 2do K*  MF negativa  INESTABLE Si K se encuentra entre las los 2 valores de K*  MF positiva ESTABLE Con K al valor de K*=33.5  MF cero MARG. ESTABLE (Véase el punto -1/K* que queda a la derecha de la curva recorrida) (Véase ahora que el punto -1 queda a la izquierda de la curva recorrida) (Véase el punto -1 que queda a la derecha de la curva recorrida) Con K al valor de K*=891  MF cero MARG. ESTABLE

Otro ejemplo de SCE Z=0 Z=2 N=1-1=0, Z=0 P=0 Diagrama de Bode 10 -3 -2 -1 1 2 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 60 80 K=20 dB Otro ejemplo de SCE K=1=0 dB KDG(s)= K(s2+10s+100) s4+0.9 s3+0.25 s2+0.027 s + 0.001 K=-50 dB -144° -276,6° -166° Re(s) -1 Im(s) Diagrama de Nyquist C2 K=0dB K=20dB -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -6 -4 -2 2 4 6 x K1*=0.006 K=-50dB K2*=5.5 Lugar de las raíces Z=0 Z=2 N=1-1=0, Z=0 estable P=0 estable inestable

Lecturas de los Márgenes de Ganancia y Fase en Diagrama de Bode KDG(s)= 0.7 (s2+10s+100) s4+0.9 s3+0.25 s2+0.027 s + 0.001 10 -3 -2 -1 1 2 -100 -80 -60 -40 -20 20 40 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 60 80 Se ve que existe otra frecuencia para una fase de -180º. Se determina que este MG es mayor que en el primer caso. Se busca la frecuencia para una fase de -180º y se lee la ganancia y se determina el MG En general se toma el menor MG de ambos ya que un aumento de ganancia superior a la primera K*, causa inestabilidad Se trazan rectas de ganancia de 0dB y de fase -180º Se busca la frecuencia del corte para 0dB y se lee la fase. Si ésta por arriba de -180º, el Sistema de Control es estable Se determina el punto de corte de la Ganancia a 0dB Pero si el SCLC trabaja en altas ganancias, deberá prestarse atención a una reducción de la misma wc=0.18 MG=15 dB K=-3 dB=0.7 MG=75 dB MF=85° Magnitud de KDG(j) Fase de KDG(j)